Fragenbank: Räumliche Geometrie: Deformationen in Projektionen

Ein Team von Geographen arbeitet an der Erstellung einer neuen Karte von Brasilien, sie müssen zwischen der zylindrischen Projektion und der konischen Projektion wählen. Um bei der Entscheidung zu helfen, beschließen sie, die Verzerrungen von Winkeln und Flächen dieser Projektionen auf das brasilianische Territorium zu untersuchen. Beachten Sie, dass die ausgewählte zylindrische Projektion die von Mercator und die ausgewählte konische Projektion die von Albers ist. Welche Projektion sollten die Geographen wählen, unter Berücksichtigung der geringsten Auswirkungen auf die Verzerrungen von Winkeln und Flächen?

Das Unternehmen Geolocalizações Precisas S/A verwendet verschiedene Arten von kartografischen Projektionen, um die Erdoberfläche zu kartieren, einschließlich zylindrischer und konischer Projektionen. Sie haben festgestellt, dass je nach verwendeter Projektion eine Deformation der Winkel und Flächen auftritt. Angenommen, dieses Unternehmen hat ein rechteckiges Grundstück mit Seitenlängen von 20 km und 30 km mithilfe beider Projektionstypen kartiert. Unter der Annahme, dass zylindrische Projektionen die Winkel bewahren und konische Projektionen die Flächen bewahren, welche wäre der Unterschied zwischen den in den beiden Projektionen kartierten Flächen, wenn der Deformationsfaktor in der zylindrischen Projektion 1,2 und in der konischen Projektion 0,9 beträgt?

In einer Geografiestunde lernen die Schüler über Kartenprojektionen und deren Verzerrungen. Der Mathematiklehrer schlägt eine interdisziplinäre Übung vor, die die Anwendung von Konzepten der räumlichen Geometrie beinhaltet, um zu verstehen, wie verschiedene Projektionen Winkel und Flächen verzerren. Unter Berücksichtigung eines vereinfachten Modells der Erde, das durch ein Ellipsoid approximiert werden kann, müssen die Schüler die Verzerrung eines Vierecks ABCD analysieren, das in der echten Erde rechte Winkel und Seitenlängen von 1 km hätte, wenn es durch eine zylindrische konforme Projektion projiziert wird, in der Meridiane und Parallelen durch gerade Linien dargestellt werden, die sich in rechten Winkeln schneiden, aber die Meridiane nicht unbedingt Linien konstanter Länge sind. Die Projektion ist so beschaffen, dass ein Grad Breite oder Länge in der Projektion 1 km am Äquator entspricht, und die Skala der Meridiane ist am Äquator konstant, steigt jedoch, je näher man den Polen kommt. Die Schüler müssen: 1. Die Formel bestimmen, die die Skala der Projektion mit der Breite in Beziehung setzt, und 2. Die Fläche des Vierecks ABCD in der Projektion und die prozentuale Verzerrung der Fläche im Verhältnis zur echten Erde berechnen, wobei angenommen wird, dass die Projektion keine Winkelverzerrungen einführt.

Ein Kartograf arbeitet an einer neuen Karte und hat beschlossen, eine zylindrische Projektion zu verwenden. Er erkennt, dass die Verzerrung von Winkeln und Flächen eine wichtige Überlegung bei der Wahl der Projektion ist. Gegeben einen Punkt P auf der Karte, wie ist die mathematische Beziehung zwischen der Winkelverzerrung (da) und der Flächenverzerrung (dA) in dieser zylindrischen Projektion?