Ziele
1. Die Eigenschaften quadratischer Funktionen erkennen und beschreiben.
2. Ermittlung von Eingabewerten (x-Werte) und Ausgabewerten (y-Werte) bei quadratischen Funktionen.
Kontextualisierung
Quadratische Funktionen finden in vielen Bereichen Anwendung. In der Physik helfen sie bei der Beschreibung von Wurfbewegungen, in der Wirtschaft bei der Analyse von Kosten und Gewinnen. Das Verständnis, wie man die Eingaben (x-Werte) und Ausgaben (y-Werte) einer Funktion ermittelt, ist entscheidend, um dieses Wissen im Alltag und in verschiedenen Berufsfeldern nutzbar zu machen.
Fachrelevanz
Zu erinnern!
Definition der quadratischen Funktion
Eine quadratische Funktion ist eine Polynomfunktion der Form f(x) = ax² + bx + c, wobei 'a', 'b' und 'c' feste Zahlenwerte sind und 'a' nicht null sein darf. Der Funktionsgraph ist eine Parabel, die sich je nach Vorzeichen von 'a' nach oben oder unten öffnet.
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Allgemeine Form: f(x) = ax² + bx + c
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Konstanten: 'a', 'b' und 'c' sind reelle Zahlen; 'a' darf nicht 0 sein
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Graph: Der Funktionsgraph ist eine Parabel
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Ausrichtung: Die Parabel öffnet sich nach oben, wenn 'a' > 0, und nach unten, wenn 'a' < 0
Bestimmung der Eingabe (x) und Ausgabe (y)
Bei einer quadratischen Funktion stehen die 'x'-Werte für die eingegebenen Werte, während die 'y'-Werte durch Einsetzen in die Funktion berechnet werden. Diese Beziehung wird durch die Funktionsgleichung ausgedrückt.
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Eingabe: Der in die Funktion eingesetzte 'x'-Wert
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Ausgabe: Der resultierende 'y'-Wert nach Berechnung
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Zusammenhang: 'y' wird durch das Einsetzen des jeweiligen 'x'-Werts in die Funktion f(x) ermittelt
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Beispiel: Für f(x) = x² - 4x + 3 gilt, dass wenn x = 2, y = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
Berechnung des Scheitelpunkts der Parabel
Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. Bei der Funktion f(x) = ax² + bx + c wird der Scheitelpunkt mit der Formel xₛ = -b/(2a) berechnet; den dazugehörigen y-Wert erhält man durch yₛ = f(xₛ).
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Scheitelpunktformel: xₛ = -b/(2a)
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Berechnung des y-Werts: yₛ = f(xₛ)
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Bedeutung: Der Scheitelpunkt markiert den höchsten oder tiefsten Punkt der Parabel
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Beispiel: Für f(x) = x² - 4x + 3 ergibt sich xₛ = 2 und yₛ = f(2) = -1
Praktische Anwendungen
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Luft- und Raumfahrt: Berechnung von Raketen- und Satellitenflugbahnen.
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Wirtschaft: Analyse von Kosten- und Gewinnstrukturen zur Optimierung betrieblicher Prozesse.
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Finanzen: Prognose von Aktienkursbewegungen und Optimierung von Investitionsstrategien.
Schlüsselbegriffe
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Quadratische Funktion: Eine Polynomfunktion der Form f(x) = ax² + bx + c.
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Parabel: Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion.
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Scheitelpunkt: Der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel.
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Nullstellen: Die x-Werte, für die f(x) = 0 gilt.
Fragen zur Reflexion
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Wie kann das Verständnis quadratischer Funktionen zur Lösung realer Probleme, wie der Kostenoptimierung in einem Unternehmen, beitragen?
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In welchen alltäglichen Situationen begegnet einem die Anwendung quadratischer Funktionen?
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Welche Bedeutung haben quadratische Funktionen für die von Ihnen angestrebten Berufe?
Modellierung der Flugbahn einer Rakete
In dieser kleinen Aufgabe sollen Sie die Konzepte quadratischer Funktionen nutzen, um die Flugbahn einer Rakete zu modellieren. Arbeiten Sie in Gruppen und erstellen Sie ein vereinfachtes Raketenmodell, dessen parabolische Flugbahn Sie mit Hilfe einer quadratischen Funktion berechnen.
Anweisungen
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Bildung von Gruppen mit 4-5 Teilnehmern.
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Nutzen Sie Materialien wie Karton, Schere, Klebeband und ein Lineal, um ein einfaches Raketenmodell zu bauen.
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Definieren Sie eine quadratische Funktion, die die Flugbahn der Rakete darstellt.
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Berechnen Sie die entsprechenden Eingabe- (x-) und Ausgabewerte (y) sowie den Scheitelpunkt und die Nullstellen.
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Visualisieren Sie die Flugbahn auf einem Plakat oder an einem Whiteboard.
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Präsentieren Sie Ihr Modell und erläutern Sie dabei die vorgenommenen Berechnungen.
