Introducción

Relevancia del Tema

En matemáticas, la divisibilidad es un concepto fundamental. El estudio de los criterios de divisibilidad es un pilar para la comprensión de muchos otros temas en el currículo, como la factorización, los números primos y la simplificación de fracciones. Además, es uno de los primeros temas explorados dentro del tema más amplio de la Aritmética, que es la base de muchos otros estudios en matemáticas.

Contextualización

El tema de los Criterios de Divisibilidad está en el corazón del currículo de Matemáticas del 1er año de la Educación Secundaria. Es una extensión natural de los temas de división y múltiplos, que se abordan en el 9º año de la Educación Básica, y sirve como preparación para conceptos más avanzados de matemáticas que se introducirán más adelante, como la Teoría de Números y el Álgebra. La comprensión sólida de estos criterios es esencial para el éxito en temas futuros, y por eso este tema es tan vital.

Desarrollo Teórico

Componentes

• Criterios de Divisibilidad por 2 y 5: Estos criterios son fundamentales y se basan en las propiedades de los dígitos finales. Si un número termina en 0, 2, 4, 6 u 8, es divisible por 2. Si termina en 0 o 5, es divisible por 5. Estos criterios son la base para la divisibilidad por 10 (ya que 10 es el producto de 2 y 5).

• Criterio de Divisibilidad por 3: La suma de los dígitos de un número indica si es divisible por 3 o no. Si la suma es divisible por 3, entonces el número también lo es.

• Criterio de Divisibilidad por 4: Este criterio se basa en los dos últimos dígitos de un número. Si estos dos dígitos forman un número divisible por 4, entonces el número original también lo es.

• Criterio de Divisibilidad por 6: Para que un número sea divisible por 6, debe ser divisible por 2 y 3 al mismo tiempo. Esto significa que debe terminar en un dígito par y la suma de sus dígitos debe ser divisible por 3.

• Criterio de Divisibilidad por 9: Al igual que el criterio de divisibilidad por 3, este criterio también está determinado por la suma de sus dígitos. Si la suma es divisible por 9, entonces el número también lo es. Este criterio se deriva del principio de aditividad.

• Criterio de Divisibilidad por 10: Si un número termina en 0, entonces es divisible por 10. Este criterio es una extensión directa de los criterios de divisibilidad por 2 y 5.

Términos Clave

• Divisibilidad: La capacidad de un número para ser dividido por otro resultando en una división exacta, sin resto.
• Criterio de Divisibilidad: Conjunto de reglas que ayudan a determinar si un número es divisible por otro sin realizar la división en sí.

Ejemplos y Casos

1. Divisibilidad por 2: El número 546 es divisible por 2, ya que termina en un dígito par. En cambio, el número 573 no es divisible por 2, ya que termina en un dígito impar.

2. Divisibilidad por 3: El número 327 es divisible por 3, ya que la suma de sus dígitos (3 + 2 + 7) es igual a 12, que es divisible por 3. El número 956 no es divisible por 3, ya que la suma de sus dígitos (9 + 5 + 6) es igual a 20, que no es divisible por 3.

3. Divisibilidad por 4: El número 148 es divisible por 4, ya que los dos últimos dígitos forman el número 48, que es divisible por 4. El número 327 no es divisible por 4, ya que los dos últimos dígitos forman el número 27, que no es divisible por 4.

4. Divisibilidad por 6: El número 732 es divisible por 6, ya que termina en un dígito par y la suma de sus dígitos (7 + 3 + 2) es igual a 12, que es divisible por 3. El número 956 no es divisible por 6, ya que no termina en un dígito par.

5. Divisibilidad por 9: El número 4.968 es divisible por 9, ya que la suma de sus dígitos (4 + 9 + 6 + 8) es igual a 27, que es divisible por 9. El número 854 no es divisible por 9, ya que la suma de sus dígitos (8 + 5 + 4) es igual a 17, que no es divisible por 9.

6. Divisibilidad por 10: El número 2.540 es divisible por 10, ya que termina en 0. El número 321 no es divisible por 10, ya que no termina en 0.

Resumen Detallado

Puntos Relevantes

1. Criterios de Divisibilidad: Hay 6 criterios: divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6 y 9. Se basan en propiedades de los dígitos finales y la suma de los dígitos.

2. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su dígito final es 0, 2, 4, 6 u 8. Esto se debe a que todos los múltiplos de 2 son pares.

3. Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5. Esto se debe a que todos los múltiplos de 5 terminan en una de estas dos cifras.

4. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Esto se debe a que 10-1=9, por lo tanto, si la suma de los dígitos es múltiplo de 3, entonces el número también lo es.

5. Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimos dígitos es divisible por 4. Esto se debe a que 100-4=96, por lo tanto, si un número donde los dos últimos dígitos forman un múltiplo de 4, entonces el número original también lo es.

6. Divisibilidad por 6: Un número es divisible por 6 si es par y la suma de sus dígitos es divisible por 3. Esto se debe a que si es par ya es divisible por 2 y si la suma de los dígitos es múltiplo de 3, entonces también es divisible por 3.

7. Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9. Esto se debe a que 10-1=9, por lo tanto, si la suma de los dígitos es un número divisible por 9, entonces el número original también lo es.

8. Divisibilidad por 10: Un número es divisible por 10 si su dígito final es 0. Esto se debe a que 10 es el producto de 2 por 5, y cualquier número divisible por 2 y 5 también será divisible por 10.

Conclusiones

1. La comprensión de los criterios de divisibilidad es fundamental para simplificar operaciones de división y para el análisis de números. Saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división propiamente dicha ahorra tiempo y esfuerzo.

2. Los criterios de divisibilidad son una consecuencia directa de las propiedades de adición y multiplicación de los números. Por eso, son lógicamente consistentes y se aplican a cualquier número, independientemente de lo grande o pequeño que sea.

3. Los criterios de divisibilidad proporcionan una forma eficiente de verificar si un número ha sido dividido correctamente. Al realizar las comprobaciones de cada criterio, se puede confirmar si la división se ha realizado correctamente, sin necesidad de volver a hacer la división.

Ejercicios

1. Verifique si los números 235, 480, 29.625 y 9.312 son divisibles por 2, 5, 3, 4, 6, 9 y 10.

2. Usando los criterios de divisibilidad, determine si los siguientes números son divisibles por 100: 348.000; 1.892; 5.500. ¿Cuáles son los números múltiplos de 100 que son menores que estos números?

3. ¿Qué números, menores que 1000, son divisibles por 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10? ¿Cuántos son en total?