Introducción

La Relevancia del Tema

La función de primer grado es uno de los fundamentos esenciales de la matemática y tiene aplicaciones prácticas en varias áreas de la vida. Su entendimiento es crucial para la comprensión de conceptos matemáticos más complejos, además de contribuir directamente a la formación del pensamiento lógico y analítico.

Contextualización

En el ámbito más amplio del currículo de Matemáticas, la función de primer grado se encaja en la sección de Álgebra. Es una preparación crucial para el estudio de funciones más complejas, como la función de segundo grado y la función exponencial. Además, esta unidad proporciona una introducción sólida a la noción de "matemática funcional", donde variables interactúan linealmente de una manera extremadamente útil para la modelización de una variedad de fenómenos, desde la física hasta la economía.

Desarrollo Teórico

Componentes de la Función de Primer Grado

• Variable Independiente (x): En la función de primer grado, x es la variable independiente, es decir, aquella que puede ser libremente elegida y que influye en la relación entre x y y.

• Coeficiente Angular (m): El coeficiente angular en una función del 1º grado es el número multiplicado por la variable independiente x. Define la inclinación de la recta en el gráfico de la función.

• Término Independiente (b): El término independiente, o constante, es aquel que no depende de la variable x y se suma o resta al final del cálculo de la función. Define el punto donde la recta intercepta el eje y.

• Variable Dependiente (y): En la función de primer grado, y es la variable dependiente, es decir, aquella que se calcula a partir de la variable independiente de acuerdo con la función.

Términos Clave

• Función Lineal: También conocida como función de primer grado, es una relación matemática que puede ser representada por una recta en un sistema de coordenadas cartesianas. La función se define por la ecuación y = mx + b.

• Razón de Cambio: Es la tasa por la cual la función de primer grado o la "inclinación" de la recta cambia. Esta razón es siempre igual al coeficiente angular.

• Intercepto y (b): Representa el punto en el eje y donde la recta de la función de primer grado cruza. En la ecuación de la función, este valor se añade o se resta de x.

• Sensibilidad de la Función: La función de primer grado es muy sensible a la variable independiente, lo que significa que pequeños cambios en x pueden resultar en grandes cambios en y.

Ejemplos y Casos

• Ejemplo 1: Precio de Entradas Si en un cine, cada entrada cuesta R$10 y hay una tasa fija de R$50 por los costos de operación, la función de primer grado que determina el costo total C en función del número de entradas vendidas n puede ser expresada como C = 10n + 50. Aquí, el coeficiente angular es 10, lo que significa que por cada entrada vendida, el costo total aumenta en R$10.

• Ejemplo 2: Velocidad y Tiempo Un coche recorre una carretera a una velocidad constante de 80 km/h. El tiempo que tarda en recorrer una distancia d puede ser representado por la función de primer grado T = d/80. En esta situación, el coeficiente angular 1/80 recuerda que la velocidad es constante y no depende de la distancia.

Estos ejemplos ilustran la aplicación práctica y la importancia del estudio de la Función de 1º Grado en nuestro día a día.

Resumen Detallado

Puntos Relevantes

• La función de primer grado es una relación matemática entre dos variables, representada por una ecuación lineal, y = mx + b.

• El coeficiente angular (m) de una función de primer grado es el valor que multiplica la variable independiente. Define la inclinación de la recta en el gráfico de la función.

• El término independiente (b) en una función de primer grado es la constante que no depende de la variable x y se suma o resta al final del cálculo de la función. Determina el punto en que la función intercepta el eje y.

• El estudio de la función de primer grado permite la aplicación de la matemática en situaciones del día a día, como cálculo de gastos de un establecimiento, planificación de trayectos, entre otros.

• En la función de primer grado, la variable dependiente (y) se calcula en función de la variable independiente (x).

Conclusiones

• El concepto de función de primer grado es una habilidad esencial para la comprensión de conceptos matemáticos más complejos, y está fundamentada en la relación lineal entre dos variables.

• La inclinación de una función de primer grado, representada por el coeficiente angular, define la tasa de cambio de la variable dependiente en relación a la independiente.

• El término independiente en una función de primer grado define el valor y cuando x es 0, es decir, el valor en el cual la función intercepta el eje y.

Ejercicios

1. Una tienda cobra una tasa fija de R$20 más R$5 por cada artículo comprado. Escriba la función de primer grado que describe el costo total (C) en función del número de artículos (x) comprados.

2. El precio de un libro es de R$40 y el vendedor ofrece un descuento de R$2 por libro. Escriba la función de primer grado que describe el precio (P) de x libros.

3. Un coche consume 10 litros de gasolina por hora de viaje. Escriba la función de primer grado que describe el consumo de gasolina (C) en función del tiempo de viaje (T), en horas. (Asuma que el coche viaja a velocidad constante).

Recordando que la práctica es esencial para el pleno entendimiento del tema, se recomienda resolver al menos cinco ejercicios de cada tipo para reforzar el aprendizaje y la familiarización con las variables y constantes dentro de la función del 1º grado. ¡Aproveche!