Introducción

Relevancia del Tema

El estudio de los Números Complejos abarca un territorio vasto y fascinante en Matemáticas. La consideración de sus propiedades nos permite expandir la aritmética básica y el concepto de número al que estamos acostumbrados. Entre las diversas características de los números complejos, nos adentraremos en este Resumen Detallado en la propiedad del módulo, que es crucial ya que nos indica la 'distancia' del número complejo hasta el origen del plano complejo.

Contextualización

El concepto de números complejos surge como una extensión natural del sistema real, buscando resolver ecuaciones que no tienen respuestas en el dominio de los números reales. Por lo tanto, en el 3er año de la Enseñanza Media, después de profundizar en los números reales, comenzamos a estudiar los números complejos como una enriquecedora extensión de este sistema numérico. En un contexto más amplio, la comprensión del módulo de los números complejos tiene aplicaciones en diversas ramas de las Matemáticas y en otras ciencias, como Física e Ingeniería, donde estos números se utilizan ampliamente para modelar fenómenos.

Desarrollo Teórico

Componentes

• Número Complejo: Consiste en un número de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es el llamado 'número imaginario', con la propiedad especial de que i² = -1. Cada número complejo tiene un par ordenado asociado (a, b), que puede representarse como un punto en el plano llamado 'plano complejo'.

• Origen del Plano Complejo y la 'Distancia': El plano complejo es bidimensional, con los ejes x e y representando las partes reales e imaginarias del número complejo, respectivamente. El origen de este plano, el punto (0,0), corresponde al número complejo 0. La 'distancia' de un número complejo desde el origen se da por su módulo.

• Módulo de un Número Complejo: El módulo de un número complejo z, denotado |z|, es la distancia del punto en el plano complejo asociado al número z hasta el origen. Geométricamente, si z está representado por el punto (a, b) en el plano complejo, |z| es la distancia de ese punto hasta el (0,0). Matemáticamente, el módulo se da por |z| = sqrt(a² + b²).

Términos Clave

• Distancia Euclidiana: En el plano complejo, la distancia entre dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) se calcula usando el teorema de Pitágoras, resultando en sqrt((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²).

• Conjugado de un Número Complejo: El conjugado del número complejo a + bi se da por a - bi. El módulo del conjugado de un número complejo es igual al módulo del número complejo original.

Ejemplos y Casos

• Ejemplo 1: Para el número complejo z = 3 + 4i, el módulo se calcula como |z| = sqrt(3² + 4²) = 5. En el plano complejo, z está a una distancia de 5 desde el origen.

• Ejemplo 2: Si tenemos el número complejo w = -2 + 3i, su módulo sería |w| = sqrt((-2)² + 3²) = sqrt(4 + 9) = sqrt(13), que es aproximadamente 3.6055.

• Caso 1: Si z es un número complejo, el valor de |z| siempre es un número real no negativo. Si z = 0, su módulo es cero. Solo cuando z = 0, |z| = 0, lo que nos informa que z está en el origen del plano complejo.

• Caso 2: Si encontramos que el módulo de un número complejo es igual a su conjugado, podemos inferir que el número complejo es en realidad un número real. Por ejemplo, si |z| = z, entonces z es un número real. Si |w| = -w, entonces w también es un número real.

Resumen Detallado

Puntos Relevantes

• Definición de Número Complejo: Los números complejos son un concepto matemático que sirve para resolver ecuaciones que no tienen solución en el Conjunto de los Números Reales. Se representan en la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es el llamado 'número imaginario', con la propiedad especial de que i² = -1.

• Origen del Plano Complejo: El plano complejo es una representación bidimensional de los números complejos, donde el eje x es la parte real y el eje y es la parte imaginaria. El origen de este plano, el punto (0,0), corresponde al número complejo 0.

• El Módulo y la 'Distancia': El módulo de un número complejo z, denotado |z|, es la distancia del punto en el plano complejo asociado al número z hasta el origen. Matemáticamente, el módulo se da por |z| = sqrt(a² + b²), donde a y b son las partes reales e imaginarias respectivamente.

• Relación con el Conjugado: El módulo del conjugado de un número complejo es igual al módulo del número complejo original. El conjugado de un número complejo a + bi se da por a - bi. Esta propiedad revela lo importante que es el módulo en la descripción de los números complejos.

Conclusiones

• El módulo de un número complejo siempre es mayor o igual a cero. Su valor es cero solo cuando el número complejo es el número cero en sí.

• El módulo de un número complejo puede interpretarse como su magnitud o 'distancia' desde el origen en el plano complejo.

• El concepto de módulo es extremadamente útil en diversas ramas de las Matemáticas y en otras ciencias, como Física e Ingeniería, donde los números complejos se utilizan ampliamente para modelar fenómenos.

Ejercicios

1. Ejercicio 1: Calcula el módulo de los siguientes números complejos:

   • a) 2 + 5i
   • b) 3 - 4i

2. Ejercicio 2: Para un número complejo z, se sabe que el módulo de z es igual a su conjugado. ¿Será z un número real o imaginario?

3. Ejercicio 3: Representa en el plano complejo los números complejos z = 1 + i y w = -3 + 2i y, a partir de las representaciones, discute cuál tiene un módulo mayor.