Plan de leçon | Plan de leçon Tradisional | Fonction logarithmique : Graphique

Objectifs

Durée: (10 - 15 minutes)

Cette séquence vise à fournir aux élèves une maîtrise approfondie et pratique des fonctions logarithmiques, en mettant l’accent sur l’analyse, la construction et l’interprétation de leurs graphiques. Ces bases essentielles leur permettront d’aborder par la suite des problèmes plus complexes et d’appliquer ces concepts dans divers domaines mathématiques et scientifiques.

Objectifs Utama:

1. Identifier et comprendre les caractéristiques d’un graphique représentant une fonction logarithmique.

2. Savoir dessiner le graphique d’une fonction logarithmique à partir de son expression mathématique.

3. Lire et interpréter certaines valeurs clés sur le graphique d’une fonction logarithmique.

Introduction

Durée: (10 - 15 minutes)

L’objectif de cette introduction est de préparer les élèves à une compréhension approfondie et opérationnelle des fonctions logarithmiques en les familiarisant avec la manière d’identifier, de construire et d’interpréter leurs graphiques. Cette étape est indispensable pour les aider à aborder des exercices plus complexes par la suite.

Le saviez-vous ?

Saviez-vous que les fonctions logarithmiques jouent un rôle majeur dans l’échelle de Richter utilisée pour mesurer l’intensité des séismes ? Cette méthode s’explique par le fait que l’amplitude des tremblements de terre évolue de manière exponentielle, et le logarithme permet de rendre cette échelle plus lisible. Un autre exemple concret concerne l’échelle de pH utilisée pour déterminer l’acidité ou l’alcalinité d’une substance, illustrant ainsi l’omniprésence des fonctions logarithmiques dans notre quotidien.

Contextualisation

Pour démarrer le cours sur la fonction logarithmique et son graphique, il est crucial de rappeler aux élèves le fonctionnement des fonctions exponentielles, car elles constituent l’inverse des logarithmes. Expliquez par exemple que, même si la fonction exponentielle croît rapidement, la croissance de la fonction logarithmique est plus modérée, tout en ayant des applications multiples dans l’économie, la biologie ou encore la technologie. Appuyez-vous sur des illustrations, telles que des graphiques comparatifs d’exponentielles et de logarithmes, pour clarifier cette relation inverse dès le début.

Concepts

Durée: (50 - 60 minutes)

Cette phase du cours a pour but de donner aux élèves une compréhension solide et appliquée des fonctions logarithmiques. Ils apprendront à reconnaître les caractéristiques de leurs graphiques, à construire ces derniers à partir d’expressions mathématiques et à en extraire les informations essentielles, ce qui les préparera à résoudre des problèmes plus élaborés.

Sujets pertinents

1. Définition de la fonction logarithmique : Présentez la fonction logarithmique comme l’inverse de la fonction exponentielle. Précisez que sa forme générale est y = logₐ(x), où a représente la base du logarithme, un nombre réel positif différent de 1.

2. Domaine et image de la fonction logarithmique : Expliquez que le domaine de cette fonction est constitué de tous les nombres réels positifs (x > 0) et que son ensemble image est ℝ.

3. Représentation graphique : Montrez que le graphique de la fonction logarithmique se caractérise par une courbe qui croît progressivement, passant toujours par le point (1, 0) lorsque la base est supérieure à 1. Pour une base comprise entre 0 et 1, la courbe décroît.

4. Propriétés graphiques : Abordez les caractéristiques spécifiques du graphique, telles que l’asymptote verticale en x = 0, le passage par (1, 0) et le comportement de la courbe quand x tend vers 0 ou vers l’infini.

5. Exemples concrets : Donnez des exemples pratiques de construction de graphiques pour différentes bases (par exemple, log₂(x), log₁₀(x), log_(1/2)(x)). Expliquez étape par étape comment dessiner ces courbes.

6. Applications pratiques : Évoquez brièvement des applications concrètes des fonctions logarithmiques, comme l’échelle de Richter pour les séismes ou l’échelle de pH pour mesurer l’acidité, soulignant leur utilité dans divers contextes scientifiques.

Pour renforcer l'apprentissage

1. Tracez le graphique de la fonction y = log₂(x) et identifiez où il croise l’axe des ordonnées.

2. À partir du graphique de la fonction y = log₁₀(x), trouvez la valeur de x lorsque y = 2.

3. Expliquez en quoi la base du logarithme (a) modifie la forme du graphique. Comparez les courbes de y = log₂(x) et y = log_(1/2)(x).

Retour

Durée: (15 - 20 minutes)

Cette étape permet de récapituler et de renforcer les acquis des élèves concernant les graphiques des fonctions logarithmiques. À travers une discussion détaillée et des questions réflexives, l’enseignant s’assure que chacun a bien assimilé les notions clés et se prépare à les mettre en pratique dans des contextes plus poussés.

Diskusi Concepts

1. Analyse des questions abordées : 2. Graphique de y = log₂(x) et intersection avec l’axe des ordonnées : 3. - Précisez que le graphique de y = log₂(x) passe invariablement par le point (1, 0) puisque log₂(1) = 0. Ajoutez que la courbe augmente lentement pour des valeurs croissantes de x et se rapproche asymptotiquement de la droite verticale x = 0. Vous pouvez compléter cette explication avec un tableau de valeurs montrant, par exemple, les points (2, 1) et (4, 2). 4. Détermination de x dans y = log₁₀(x) lorsque y = 2 : 5. - Montrez que pour trouver x dans l’équation 2 = log₁₀(x), il faut poser 10² = x, ce qui donne x = 100. Illustrez cette solution en indiquant le point correspondant sur le graphique de y = log₁₀(x). 6. Influence de la base du logarithme sur le graphique : 7. - Expliquez en détail que la valeur de la base conditionne l’allure de la courbe. Pour une base supérieure à 1, comme pour y = log₂(x), le graphique est croissant. En revanche, pour une base comprise entre 0 et 1, comme dans y = log_(1/2)(x), la courbe décroît. Utilisez une comparaison visuelle pour bien souligner ces différences.

Engager les étudiants

1. Questions et réflexions pour stimuler la participation des élèves : 2. Comment peut-on reconnaître rapidement qu’un graphique représente une fonction logarithmique ? 3. Quelles différences remarquez-vous entre les graphiques de y = log₂(x) et y = log_(1/2)(x) ? 4. Pourquoi le graphique d’une fonction logarithmique ne touche-t-il jamais l’axe des ordonnées ? 5. Pouvez-vous citer des exemples concrets dans la vie quotidienne où l’on pourrait appliquer ces notions sur les fonctions logarithmiques ? 6. Si la base du logarithme était 10, quel impact cela aurait-il sur la croissance du graphique ? 7. Que se passerait-il avec le graphique si la base était très proche de 1 ?

Conclusion

Durée: (10 - 15 minutes)

L’objectif final de cette séquence est de consolider les acquis relatifs aux graphiques des fonctions logarithmiques. En résumant et en faisant le lien entre théorie et applications, l’enseignant permet aux élèves de renforcer leurs connaissances, tout en les préparant à relever des défis mathématiques plus ambitieux.

Résumé

['Récapitulation de la fonction logarithmique en tant qu’inverse de la fonction exponentielle.', 'Explication détaillée de la forme générale y = logₐ(x) et de l’importance de la base.', 'Révision du domaine (x > 0) et de l’image (ℝ) de la fonction logarithmique.', 'Analyse du comportement du graphique, qu’il soit croissant ou décroissant selon la base.', 'Mise en lumière des points essentiels du graphique, notamment l’asymptote verticale en x = 0 et le passage par (1, 0).', 'Exemples pratiques de construction de graphiques pour diverses bases (log₂(x), log₁₀(x), log_(1/2)(x)).', 'Discussion sur l’utilité pratique des fonctions logarithmiques, comme dans l’échelle de Richter et celle de pH.']

Connexion

Le cours a brillamment fait le lien entre théorie et pratique en s’appuyant sur des exemples concrets et des étapes de résolution guidées. Les élèves ont ainsi pu visualiser la mise en œuvre de ces concepts et se familiariser avec la construction et l’interprétation des graphiques, tout en comprenant les applications réelles.

Pertinence du thème

Ce sujet est particulièrement pertinent dans la vie courante, puisque les fonctions logarithmiques interviennent dans de nombreux domaines, allant de l’économie à la biologie en passant par la technologie. La compréhension de ces fonctions est essentielle pour appréhender divers phénomènes naturels et scientifiques, tels que l’intensité des séismes et la mesure de l’acidité des substances.