Résumé de Relations et équations de grandeurs

Objectifs

1. Identifier le type de relation entre deux grandeurs et déterminer s’il s’agit d’une proportionnalité directe ou inverse.

2. Représenter la relation entre les grandeurs à l’aide d’expressions algébriques.

3. Associer les équations linéaires du premier degré à deux inconnues aux droites dans le plan cartésien.

Contextualisation

Les relations entre les grandeurs se retrouvent dans de nombreuses situations quotidiennes et jouent un rôle essentiel dans divers métiers. Par exemple, en cuisine, le rapport entre les ingrédients varie en fonction du nombre de portions souhaitées. Dans l’ingénierie, ces relations sont mises à profit pour concevoir des structures solides, telles que des ponts et des bâtiments. Même en économie, l’analyse des données repose souvent sur l’identification des liens entre variables pour anticiper les tendances du marché. Comprendre ces rapports permet de résoudre efficacement des problèmes concrets.

Pertinence du sujet

À retenir !

Relations Directement Proportionnelles

Une relation est considérée comme directement proportionnelle lorsque l’augmentation (ou la diminution) d’une grandeur se traduit par une augmentation (ou diminution) proportionnelle de l’autre. Par exemple, doubler la quantité d’un ingrédient dans une recette entraîne le doublement du nombre de portions produites.

• Si une grandeur A est directement proportionnelle à une grandeur B, on peut l’exprimer par A = kB, où k représente la constante de proportionnalité.

• Les graphiques de ces relations sont des droites qui passent par l’origine du plan cartésien.

• Exemples courants : la relation entre la vitesse et la distance parcourue en un temps donné, ou entre le nombre de produits et le coût total.

Relations Inversement Proportionnelles

Deux grandeurs sont inversement proportionnelles lorsque l’augmentation de l’une entraine une diminution proportionnelle de l’autre. Par exemple, si un robinet remplit une cuve en 3 heures, deux robinets identiques la rempliront en seulement 1,5 heure.

• Si une grandeur A est inversement proportionnelle à une grandeur B, on formule la relation par A = k/B, avec k comme constante de proportionnalité.

• Le graphique de cette relation se présente sous la forme d’une hyperbole dans le plan cartésien.

• On observe ce type de relation dans la variation entre la vitesse et le temps nécessaire pour parcourir une distance fixe, ou entre le nombre de travailleurs et le temps requis pour réaliser une tâche.

Équations Linéaires du Premier Degré avec Deux Inconnues

Une équation linéaire du premier degré à deux inconnues se présente sous la forme ax + by = c, où a, b et c sont des constantes. La solution de cette équation correspond à une droite dans le plan cartésien.

• La forme générale d’une équation linéaire est ax + by = c.

• Pour la représenter graphiquement, il suffit de déterminer deux points qui satisfont l’équation et de tracer la droite qui les relie.

• Des applications pratiques comprennent la détermination des coûts et des revenus dans une entreprise, où x et y peuvent représenter différents produits ou services.

Applications pratiques

• Génie Civil : Utilisation des relations proportionnelles pour estimer la quantité de matériaux nécessaires à la construction d’infrastructures, comme des ponts ou des bâtiments.

• Économie : Analyse des données pour anticiper les tendances du marché en identifiant les relations directes et inverses entre différentes variables économiques.

• Médecine : Calcul des dosages de médicaments en tenant compte de la proportionnalité entre la quantité administrée et le poids du patient.

Termes clés

• Relations Directement Proportionnelles : Relation entre deux grandeurs où une variation proportionnelle de l’une induit la même variation dans l’autre.

• Relations Inversement Proportionnelles : Relation entre deux grandeurs dans laquelle l’augmentation de l’une entraîne une diminution équivalente de l’autre.

• Équations Linéaires du Premier Degré : Équations de la forme ax + by = c, dont la représentation graphique est une droite dans le plan cartésien.

• Phrases Algébriques : Expressions mathématiques qui décrivent la relation entre des grandeurs à l’aide de variables et de constantes.

• Plan Cartésien : Système de coordonnées bidimensionnel utilisé pour représenter graphiquement les équations et leurs relations.

Questions pour réflexion

• Comment observez-vous l’apparition des relations proportionnelles (directes et inverses) dans votre quotidien ? Donnez des exemples précis.

• En quoi la compréhension des équations linéaires pourrait-elle être utile dans votre futur parcours professionnel ? Pensez à quelques métiers concrets.

• Comment l’exercice de modélisation d’un pont vous a-t-il permis de mieux appréhender les principes de proportionnalité ? Qu’avez-vous retiré de cette expérience ?

Calculer les Proportions dans la Vie de Tous les Jours

Dans ce mini-défi, vous serez amenés à utiliser le concept des relations proportionnelles pour résoudre des problèmes concrets issus de la vie quotidienne.

Instructions

• Choisissez une activité quotidienne impliquant des proportions, comme cuisiner, gérer un budget ou organiser un voyage.

• Identifiez deux grandeurs proportionnellement liées dans l’activité sélectionnée.

• Calculez le rapport entre ces grandeurs et formulez l’équation algébrique qui les décrit.

• Expliquez en quoi cette compréhension de la proportion peut contribuer à résoudre le problème plus efficacement.

• Partagez vos conclusions avec vos camarades et comparez divers exemples de proportions dans la vie de tous les jours.