Résumé Tradisional | Distance entre les points dans le plan cartésien

Contextualisation

Le plan cartésien constitue un outil de base en mathématiques pour situer des points et représenter des figures géométriques. Il se définit par deux axes perpendiculaires : l’axe horizontal (x) et l’axe vertical (y) qui se rencontrent en l’origine (0, 0). Ces axes permettent de donner à chaque point une position unique grâce à ses coordonnées. La compréhension du plan cartésien est indispensable pour divers calculs et représentations, notamment pour déterminer la distance entre deux points.

La distance entre deux points représente la longueur du segment de droite qui les relie. Ce concept est crucial lorsqu’il s’agit de résoudre des problèmes portant sur la localisation ou le déplacement dans un espace bidimensionnel. Savoir mesurer cette distance trouve des applications concrètes, que ce soit en ingénierie, dans le développement de jeux vidéo ou en navigation. Dans cette leçon, nous verrons comment calculer cette distance, tant par des méthodes visuelles que par une formule mathématique dérivée du théorème de Pythagore.

À Retenir!

Définition de la distance entre deux points

La distance entre deux points du plan cartésien est, en effet, la longueur du segment qui les relie. Imaginez par exemple deux points, A et B, sur un graphique : la distance correspond à la ligne droite la plus courte entre A et B. Ce concept est essentiel pour aborder des problèmes de positionnement et de déplacement dans un espace à deux dimensions.

Si les points sont alignés horizontalement (ayant la même coordonnée y), la distance se calcule simplement en faisant la différence entre leurs coordonnées x. De même, s’ils sont alignés verticalement (même coordonnée x), il suffit de soustraire leurs coordonnées y. Cette méthode, bien que simple, est très utile pour des situations où les points sont directement alignés avec les axes du plan.

• La distance correspond à la longueur du segment reliant deux points.

• Pour des points alignés horizontalement, on soustrait les coordonnées x.

• Pour des points alignés verticalement, on soustrait les coordonnées y.

Calcul de la distance sans formule

Pour mesurer la distance entre deux points sans recourir à la formule, il faut d’abord vérifier s’ils sont alignés horizontalement ou verticalement. Dans le cas d’un alignement horizontal, on soustrait les coordonnées x des points. Par exemple, entre les points (2, 3) et (5, 3), la distance est |5 - 2| = 3 unités. De même, pour un alignement vertical, on soustrait les coordonnées y, et la distance entre (4, 2) et (4, 6) est |6 - 2| = 4 unités.

Cette méthode, adaptée aux situations simples, offre une approche rapide pour déterminer la distance quand les points coïncident avec les axes. Toutefois, pour des configurations plus complexes, il devient nécessaire d’utiliser des formules de calcul.

• Vérifiez si les points sont alignés horizontalement ou verticalement.

• En alignement horizontal, soustrayez les coordonnées x.

• En alignement vertical, soustrayez les coordonnées y.

Calcul de la distance à l’aide d’une formule

Pour déterminer la distance entre deux points, notés (x1, y1) et (x2, y2), nous utilisons la formule d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²). Cette formule découle du théorème de Pythagore, qui affirme que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ici, la ligne droite entre les deux points fait office d’hypoténuse, tandis que les différences entre les coordonnées fournissent les longueurs des autres côtés.

Pour appliquer cette formule, il faut d’abord calculer (x2 - x1) et (y2 - y1), les élever au carré, additionner les deux résultats, puis extraire la racine carrée de la somme obtenue. Par exemple, pour les points (1, 2) et (4, 6), nous obtenons : (4 - 1)² + (6 - 2)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, et √25 = 5 unités.

• La formule utilisée est d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

• Issue du théorème de Pythagore.

• Elle permet de calculer la distance pour n’importe quelle paire de points dans le plan.

Exemples pratiques

L’utilisation d’exemples concrets est essentielle pour ancrer la compréhension du calcul de la distance entre deux points sur le plan cartésien. Par exemple, pour déterminer la distance entre (1, 2) et (4, 6), on applique la formule d = √((4 - 1)² + (6 - 2)²), ce qui donne : √(9 + 16) = √25 = 5 unités. Cet exemple illustre clairement chaque étape du calcul.

Un autre exemple consiste à mesurer la distance entre (3, 5) et (7, 1). En appliquant la formule, d = √((7 - 3)² + (1 - 5)²) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5,66 unités. Ces cas concrets permettent aux élèves de saisir l’application pratique de la formule et de renforcer les notions abordées en classe.

Utiliser ces exemples en classe et encourager la participation active des élèves aide à repérer et corriger les éventuelles incompréhensions, tout en illustrant comment appliquer directement le concept à des situations réelles.

• Résolvez chaque exemple étape par étape.

• Appliquez la formule à différentes paires de points.

• Repérez et corrigez les doutes en direct.

Termes Clés

• Plan cartésien : un système de coordonnées en deux dimensions constitué de deux axes perpendiculaires.

• Coordonnées : un couple de valeurs permettant de situer un point dans le plan cartésien.

• Distance : la longueur du segment reliant deux points.

• Théorème de Pythagore : une relation entre les côtés d’un triangle rectangle.

• Formule de la distance : d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²), utilisée pour calculer la distance entre deux points.

Conclusions Importantes

Dans cette leçon, nous avons vu comment déterminer la distance entre deux points dans le plan cartésien, un concept fondamental en mathématiques pour situer des points et construire des figures géométriques. Nous avons défini cette distance comme la longueur du segment de droite qui relie les points, et nous avons étudié des méthodes de calcul visuelles pour des cas simples lorsqu’ils sont alignés horizontalement ou verticalement.

Nous avons ensuite abordé le calcul de la distance à l’aide de la formule d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²), dérivée du théorème de Pythagore, permettant d’obtenir la distance pour n’importe quelles coordonnées. Ces exemples pratiques offrent un excellent moyen de consolider les notions vues et d’acquérir une méthode rigoureuse pour le calcul.

La maîtrise de ces concepts est indispensable pour de nombreuses applications, que ce soit en ingénierie, dans la création de jeux ou dans la navigation. Nous encourageons donc les élèves à poursuivre leur pratique afin de renforcer leur compréhension et leur capacité à résoudre des problèmes réalistes.

Conseils d'Étude

• Reprenez les exemples travaillés en classe et essayez de les refaire seul(e).

• Entraînez-vous à calculer les distances entre différentes paires de points du plan cartésien pour renforcer votre confiance.

• Approfondissez votre compréhension du théorème de Pythagore et ses applications à d’autres problèmes géométriques afin de mieux maîtriser la formule de la distance.