Résumé de Progression Arithmétique : Termes

Objectifs

1. Assimiler le concept de progression arithmétique (P.A) et sa définition.

2. Identifier les termes constitutifs d'une progression arithmétique.

3. Utiliser les formules adaptées pour calculer des termes précis d'une P.A.

4. Renforcer vos compétences en logique et en raisonnement mathématique.

5. Exploiter le concept de P.A dans des situations concrètes et dans la résolution de problèmes quotidiens.

Contextualisation

Les progressions arithmétiques se retrouvent dans de nombreux contextes du quotidien et interviennent dans divers domaines. Elles sont visibles dans des phénomènes naturels, comme l'espacement des feuilles sur une plante, ainsi que dans des situations urbaines, par exemple dans la disposition des sièges d’un théâtre. Pour illustrer, une suite de nombres qui augmente de façon régulière, telle que 1, 3, 5, 7, correspond à une progression arithmétique avec une différence fixe de 2. Comprendre ce concept permet aux élèves de repérer des schémas et de faire des prévisions, des compétences clés dans de nombreux métiers.

Pertinence du sujet

À retenir !

Concept de Progression Arithmétique (P.A)

Une progression arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme, à partir du deuxième, est obtenu en ajoutant une constante, appelée différence commune, au terme précédent. Par exemple, dans la séquence 2, 5, 8, 11, ..., la différence commune est 3, car chaque terme s'obtient en ajoutant 3 au nombre précédent.

• Une progression arithmétique est une suite numérique.

• Chaque terme, dès le deuxième, est obtenu en ajoutant une constante, la différence commune.

• Exemple : dans la suite 2, 5, 8, 11, ... la différence commune est de 3.

Identification des Termes d'une P.A

Les termes d'une progression arithmétique correspondent aux nombres qui composent la suite. Le premier terme, noté a1, est suivi par ceux obtenus en ajoutant systématiquement la différence commune. La formule générale pour déterminer le nième terme est : an = a1 + (n-1) * d, où an désigne le nième terme, a1 le premier terme, n la position du terme, et d la différence commune.

• Le premier terme est noté a1.

• Les termes suivants se construisent en ajoutant la différence commune au terme précédent.

• La formule pour le nième terme est : an = a1 + (n-1) * d.

Calculer des Termes Spécifiques d'une P.A

Pour calculer un terme précis dans une progression arithmétique, il suffit d'utiliser la formule : an = a1 + (n-1) * d. Par exemple, pour déterminer le 10ème terme d'une P.A où a1 est 2 et d est 3, on remplace dans la formule : a10 = 2 + (10-1) * 3 = 2 + 27 = 29.

• On utilise la formule : an = a1 + (n-1) * d.

• En substituant les valeurs de a1, n et d, on obtient le terme recherché.

• Exemple : a10 = 2 + (10-1) * 3 = 29.

Applications pratiques

• En génie civil, les progressions arithmétiques servent à calculer la répartition des charges dans des structures comme les ponts et les bâtiments.

• En économie, elles permettent de prévoir l'évolution des investissements et des indicateurs économiques sur une période donnée.

• En informatique, certains algorithmes s'appuient sur les P.A pour optimiser les processus et la gestion des ressources, comme dans l'allocation mémoire ou les méthodes de recherche et de tri.

Termes clés

• Progression Arithmétique (P.A) : Une suite numérique où, à partir du deuxième terme, chaque valeur est obtenue en ajoutant une constante au terme précédent.

• Différence commune : La constante ajoutée à chaque terme pour obtenir le suivant dans la suite.

• Terme initial (a1) : Le premier élément d'une progression arithmétique.

• Formule pour le nième terme (an) : La formule qui permet de calculer un terme précis d'une P.A, donnée par an = a1 + (n-1) * d.

Questions pour réflexion

• De quelle manière la capacité à repérer des schémas numériques peut-elle être utile dans votre future carrière?

• En quoi l'aptitude à prévoir et calculer des termes futurs d'une suite peut-elle influencer la prise de décisions dans des situations concrètes?

• Imaginez un problème du quotidien qui pourrait être résolu en utilisant le concept de progression arithmétique. Décrivez ce problème et expliquez comment la P.A pourrait apporter une solution.

Défi Pratique : Construire une P.A à partir de Matériaux Recyclés

Mettez en œuvre les concepts abordés en créant une suite d’objets qui illustre une progression arithmétique, en utilisant des matériaux recyclables.

Instructions

• Rassemblez des matériaux recyclables tels que bouteilles, bouchons, boîtes, etc.

• Définissez une progression arithmétique en choisissant une différence commune précise (par exemple, 2).

• Composez une suite représentant les 10 premiers termes de la P.A définie.

• Disposez les objets de manière à ce que l'espacement entre eux corresponde à la différence commune choisie.

• Présentez votre réalisation à un camarade ou à un membre de votre famille en expliquant votre choix de différence et le calcul des termes de la suite.