Objectifs
1. Savoir représenter graphiquement et tabulairement une fonction quadratique.
2. Différencier clairement entre les représentations sous forme de graphique et de tableau.
3. Tracer à main levée le graphique d’une fonction quadratique.
Contextualisation
Les fonctions quadratiques occupent une place centrale en mathématiques et interviennent dans de nombreux contextes de la vie quotidienne. On peut, par exemple, observer leur utilisation dans le mouvement parabolique d’une balle lancée ou dans la trajectoire de fusées. Elles servent également dans l’analyse de la rentabilité des entreprises ou même dans la prévision de la croissance démographique.
Pertinence du sujet
À retenir !
Notions de la fonction quadratique
Une fonction quadratique est une fonction polynomiale de degré 2, généralement écrite sous la forme y = ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes, avec a ≠ 0. On parle de fonction quadratique parce que x est élevée au carré.
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L’équation générale s’exprime sous la forme y = ax² + bx + c.
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Le graphique d’une fonction quadratique est une parabole.
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La valeur de 'a' détermine l’orientation de la parabole (ouverte vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0).
Représentation graphique des fonctions quadratiques
Le graphique d’une fonction quadratique se présente sous la forme d’une parabole dans un repère cartésien. La forme de cette parabole est dictée par les coefficients a, b et c. Le sommet représente le point de maximum ou de minimum, selon le signe de 'a'.
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Le sommet se calcule à l’aide de la formule (-b/(2a), f(-b/(2a))).
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Les racines correspondent aux points où la parabole traverse l’axe des x.
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La parabole est symétrique par rapport à une droite verticale passant par le sommet.
Table de valeurs pour les fonctions quadratiques
Une table de valeurs consiste à lister différentes valeurs de x accompagnées de leur f(x) correspondant. Cet outil permet de mieux visualiser le comportement de la fonction pour diverses valeurs de x et sert d’aide précieuse pour tracer son graphique.
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Sélectionner une plage de valeurs pour x afin de calculer les valeurs correspondantes de y.
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La table permet d’identifier des points clés tels que les racines et le sommet.
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Elle facilite la compréhension de la forme de la parabole avant de réaliser le tracé final.
Applications pratiques
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Ingénierie : Utiliser les fonctions quadratiques pour déterminer la trajectoire des projectiles et optimiser l’utilisation des matériaux en construction.
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Économie : Modéliser les profits et les coûts pour identifier le seuil de rentabilité ou maximiser le profit.
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Science des données : Développer des algorithmes d’apprentissage automatique capables de prédire les tendances et comportements.
Termes clés
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Fonction quadratique : Fonction polynomiale de degré 2, généralement exprimée sous la forme y = ax² + bx + c.
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Parabole : Courbe symétrique représentant graphiquement une fonction quadratique.
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Sommet : Point de maximum ou de minimum de la parabole, obtenu avec la formule (-b/(2a), f(-b/(2a))).
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Racines : Points où la parabole coupe l’axe des x, également appelés zéros de la fonction.
Questions pour réflexion
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En quoi la capacité de construire et d’interpréter des graphiques de fonctions quadratiques pourrait-elle se révéler utile dans votre futur métier ?
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De quelles manières les fonctions quadratiques peuvent-elles être mobilisées pour résoudre des problèmes du quotidien ?
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Pourquoi est-il essentiel de comprendre la forme et le comportement des paraboles dans divers secteurs professionnels ?
Approfondir les fonctions quadratiques dans des situations réelles
Ce mini-défi vous invite à mettre en pratique vos connaissances des fonctions quadratiques en les appliquant à un contexte quotidien.
Instructions
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Constituez des groupes de 3 à 4 élèves.
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Identifiez une situation concrète (par exemple, la trajectoire d’une balle, le calcul du profit d’une entreprise, etc.) dans laquelle une fonction quadratique pourrait être utile.
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Modélisez cette situation à l’aide d’une fonction quadratique en déterminant les coefficients a, b et c qui la caractérisent le mieux.
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Élaborez une table de valeurs adaptée en choisissant judicieusement des valeurs de x pour la situation envisagée.
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Tracez le graphique correspondant sur du papier millimétré, en indiquant les points clés tels que le sommet et les racines.
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Préparez une brève présentation (3 à 5 minutes) pour exposer à la classe votre situation, la fonction modélisée, la table de valeurs et le graphique obtenu.
