Résumé de Fonction logarithmique : Graphique

Objectifs

1. Repérer les caractéristiques spécifiques d’un graphique de fonction logarithmique.

2. Tracer le graphique d’une fonction logarithmique à partir de son expression mathématique.

3. Lire et interpréter les valeurs présentes sur un graphique de fonction logarithmique.

Contextualisation

Les logarithmes interviennent dans de nombreux aspects de notre quotidien et dans divers secteurs. Par exemple, l’échelle de Richter, qui mesure l’intensité des séismes, repose sur une échelle logarithmique : un séisme de magnitude 7 est environ 31,6 fois plus puissant qu’un séisme de magnitude 6. De même, le pH, servant à déterminer l’acidité ou l’alcalinité d’une solution, s’appuie sur des calculs logarithmiques. Maîtriser les fonctions logarithmiques et leur représentation graphique est donc indispensable pour analyser et comprendre ces phénomènes.

Pertinence du sujet

À retenir !

Caractéristiques d’un graphique de fonction logarithmique

Les graphiques des fonctions logarithmiques présentent des traits particuliers, comme une courbe qui monte progressivement et une asymptote verticale. Cette asymptote apparaît parce que la fonction n’est pas définie pour des valeurs de x inférieures ou égales à zéro. Ainsi, lorsque x se rapproche de zéro par valeurs positives, la fonction tend vers moins l’infini.

• Asymptote verticale : Le graphique présente une asymptote verticale en x = 0.

• Croissance modérée : La fonction logarithmique augmente lentement avec x.

• Domaine : La fonction n’est définie que pour x > 0.

Construction du graphique d’une fonction logarithmique

Pour tracer le graphique d’une fonction logarithmique, il est essentiel d’identifier quelques points clés et de saisir le comportement général de la courbe. En recourant à des logiciels comme GeoGebra ou Desmos, il est possible de visualiser précisément la forme de la fonction. Si l’on réalise un tracé manuellement, il faut alors calculer plusieurs points significatifs et comprendre la tendance vers l’asymptote.

• Identification des points clés : Calculer la fonction pour différentes valeurs de x, par exemple 0,1, 1 et 10.

• Utilisation de logiciels : GeoGebra et Desmos facilitent la visualisation et l’analyse graphique.

• Compréhension du comportement : Observer comment la fonction évolue à l’approche de zéro et lorsque x tend vers l’infini.

Interprétation des graphiques de fonctions logarithmiques

Analyser un graphique de fonction logarithmique consiste à lire précisément les valeurs et à comprendre la relation entre les variables. Cette aptitude est essentielle pour résoudre des problèmes concrets, notamment en analyse de données ou en modélisation mathématique.

• Lecture des valeurs : Extraire avec précision les valeurs de x et y depuis le graphique.

• Identification des tendances : Observer le comportement de la fonction sur différents intervalles de x.

• Application pratique : Utiliser ces observations pour résoudre des problèmes réels, comme l’analyse de croissances exponentielles.

Applications pratiques

• Échelle de Richter : Sert à mesurer l’intensité des séismes, chaque unité représentant une augmentation exponentielle de la puissance.

• pH des solutions : Permet d’évaluer l’acidité ou l’alcalinité via une échelle logarithmique.

• Intérêts composés : En finance, ce concept aide à modéliser la croissance exponentielle des investissements au fil du temps.

Termes clés

• Fonction logarithmique : Une fonction de la forme f(x) = log_b(x), où b est la base du logarithme et x la variable.

• Asymptote verticale : Une ligne que le graphique approche mais ne touche jamais.

• Domaine : L’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction est définie.

Questions pour réflexion

• En quoi la compréhension des fonctions logarithmiques est-elle utile pour analyser des phénomènes naturels, tels que les séismes ou le pH des solutions ?

• De quelle manière les compétences en tracé et en interprétation de graphiques logarithmiques peuvent-elles être un atout dans votre future carrière ?

• Pourquoi est-il important de connaître le comportement asymptotique de ces fonctions ?

Analyse graphique des fonctions logarithmiques

Ce défi pratique vous permettra de consolider votre compréhension du tracé et de l’interprétation des graphiques des fonctions logarithmiques.

Instructions

• Formez des groupes de 3 à 4 élèves.

• Choisissez une fonction logarithmique proposée par l’enseignant.

• Utilisez un logiciel de graphisme tel que GeoGebra ou Desmos pour tracer la courbe de la fonction choisie.

• Repérez et indiquez l’asymptote verticale ainsi que plusieurs points clés sur le graphique.

• Répondez aux questions suivantes en vous basant sur votre graphique : (a) Quelle est la valeur de y lorsque x = 1 ? (b) Comment évolue le graphique à l’approche de x = 0 ? (c) Comment se comporte-t-il lorsque x tend vers l’infini ?

• Discutez de vos réponses au sein du groupe et préparez une brève présentation pour partager vos conclusions avec la classe.