Résumé Tradisional | Fonction du premier degré : Introduction

Contextualisation

Les fonctions constituent des outils incontournables en mathématiques pour décrire les relations entre différentes variables. Une fonction du premier degré, également appelée fonction linéaire, s'exprime par l'équation y = ax + b, où a et b sont des réels et x la variable indépendante. Cette équation décrit une droite dans le plan cartésien et sert à modéliser des situations où la variation entre deux variables est proportionnelle et constante.

Dans la vie de tous les jours, on retrouve facilement des exemples de fonctions linéaires. Par exemple, le calcul du montant total lors d’un passage en caisse au supermarché, où le prix global dépend du nombre d’articles achetés, illustre bien ce type de fonction. On peut également penser à la prévision d’un budget de voyage en fonction de la distance à parcourir ou à la détermination du bénéfice réalisé selon le nombre d’unités vendues. Saisir le mécanisme de ces fonctions et apprendre à les identifier s’avère essentiel pour résoudre des problèmes concrets et aborder par la suite des concepts plus avancés en ingénierie, économie ou informatique.

À Retenir!

Définition de la Fonction du Premier Degré

Une fonction du premier degré est une fonction polynomiale de degré 1, dont l’expression est y = ax + b. Cela signifie que pour chaque valeur de x, on obtient une valeur correspondante de y en appliquant cette formule. Le coefficient a, appelé coefficient directeur, détermine l’inclinaison de la droite, tandis que b, l’ordonnée à l’origine, précise le point où la droite croise l’axe vertical.

Cette définition est fondamentale car elle permet de modéliser des situations où deux variables entretiennent une relation linéaire. On la retrouve dans de nombreux domaines tels que l’économie, l’ingénierie et les sciences sociales. Par exemple, en économie, une telle fonction peut modéliser la relation entre le coût de production et la quantité produite.

En outre, la fonction linéaire sert de base pour l’étude de fonctions plus complexes (comme les fonctions quadratiques ou exponentielles). Maîtriser ce concept est donc indispensable pour progresser en mathématiques et l’appliquer efficacement à des problèmes concrets.

• La fonction du premier degré s’exprime par y = ax + b.

• ‘a’ est le coefficient directeur et ‘b’ l’ordonnée à l’origine.

• Elle modélise des relations linéaires simples entre les variables.

Graphique de la Fonction du Premier Degré

Le graphique d’une fonction du premier degré se traduit toujours par une droite. La pente de cette droite est fixée par le coefficient directeur a, tandis que l’ordonnée à l’origine, déterminée par b, indique le point où la droite coupe l’axe des y. Ainsi, en modifiant les valeurs de a et b, on modifie respectivement l’inclinaison et la position verticale de la droite.

Pour tracer cette droite, il suffit de calculer les coordonnées de deux points et de les relier. Par exemple, pour la fonction y = 2x + 3, on peut choisir x = 0 et x = 1, ce qui donne respectivement les points (0, 3) et (1, 5). Relier ces deux points permet d’obtenir la représentation graphique de la fonction.

Visualiser la fonction de cette manière aide à mieux comprendre comment varient les deux variables : une pente positive (a > 0) indique que y augmente avec x, tandis qu’une pente négative (a < 0) montre que y décroît quand x augmente.

• Le graphique d’une fonction du premier degré est une droite.

• La pente, fixée par a, et l’ordonnée à l’origine, fixée par b, définissent la droite.

• Deux points suffisent pour tracer le graphique d’une fonction linéaire.

Détermination des Coefficients 'a' et 'b'

Pour déterminer les coefficients a et b d’une fonction linéaire à partir de deux points (x1, y1) et (x2, y2), on utilise des formules précises. Le coefficient directeur a se calcule avec la formule a = (y2 - y1) / (x2 - x1), qui représente le taux de variation de y par rapport à x.

Une fois a déterminé, on peut trouver b en substituant l’un des points dans l’équation y = ax + b et en résolvant pour b. Par exemple, si la droite passe par les points (1, 2) et (3, 6), alors a = (6 - 2) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2. En remplaçant dans l’équation avec le point (1, 2), on obtient 2 = 2(1) + b, d’où b = 0.

Ce procédé de calcul des coefficients est essentiel pour établir l’équation d’une droite à partir de données d’observation, et ainsi modéliser des situations concrètes de manière fiable.

• a se calcule par a = (y2 - y1) / (x2 - x1).

• b se trouve en substituant une des coordonnées dans l’équation y = ax + b.

• Ces coefficients permettent de construire l’équation de la droite à partir de données réelles.

Exemples Pratiques

Utiliser la fonction du premier degré dans des situations concrètes permet de saisir toute son utilité. Par exemple, pour calculer le coût total d’un achat, si un article coûte 5 € et qu’un frais fixe de livraison de 10 € s’ajoute, l’équation devient y = 5x + 10, où x représente le nombre d’articles achetés.

Un autre cas d’application est la prévision des dépenses lors d’un trajet : si le coût du carburant est de 3 € par kilomètre et qu’un péage fixe de 20 € est appliqué, la fonction devient y = 3x + 20, x désignant ici la distance parcourue. Modifier la valeur de x permet ainsi d’estimer le coût total du déplacement.

Ces exemples concrets démontrent comment les fonctions linéaires facilitent la résolution de problèmes quotidiens, que ce soit pour la gestion d’un budget ou la planification financière.

• Les fonctions linéaires aident à calculer des coûts totaux.

• Elles permettent de prévoir des dépenses en fonction d’une variable.

• Elles s’appliquent à des contextes variés, comme les achats ou les déplacements.

Termes Clés

• Fonction du Premier Degré : Fonction polynomiale de degré 1, s’exprimant par y = ax + b.

• Coefficient de Pente (a) : Indique l’inclinaison de la droite (aussi appelé coefficient directeur).

• Coefficient d'Ordonnée à l'Origine (b) : Détermine le point où la droite coupe l’axe vertical.

• Graphique : Représentation visuelle de la fonction sous forme de droite.

• Taux de Variation : Représenté par le coefficient directeur a, il indique le changement de y par rapport à x.

Conclusions Importantes

Dans cette leçon, nous avons approfondi la notion de fonction du premier degré, outil indispensable pour décrire des relations linéaires entre variables. Nous avons vu comment l’équation y = ax + b, avec a comme coefficient directeur et b comme ordonnée à l’origine, permet de représenter graphiquement une droite. La compréhension de ces concepts est cruciale pour modéliser et résoudre des problèmes concrets, que ce soit en économie, en ingénierie ou dans d’autres disciplines.

Nous avons également détaillé la méthode de détermination des coefficients à partir de points donnés, ainsi que l’importance des applications pratiques, telles que le calcul de coûts ou la prévision de dépenses. La visualisation et la pratique avec des exemples réels renforcent la compréhension et l’usage de ces outils mathématiques.

Enfin, la maîtrise des fonctions linéaires est non seulement utile dans la vie quotidienne, mais représente également une base solide pour aborder des études et des carrières plus complexes. Nous invitons les étudiants à explorer davantage ce sujet pour perfectionner leurs compétences et se préparer à relever des défis futurs.

Conseils d'Étude

• Entraînez-vous régulièrement à résoudre divers problèmes impliquant des fonctions linéaires pour consolider votre compréhension.

• Revenez sur les exemples vus en classe et tentez de créer vos propres situations basées sur le quotidien.

• Utilisez des supports complémentaires (vidéos pédagogiques, manuels scolaires, exercices en ligne) pour approfondir et clarifier vos acquis.