Résumé Tradisional | Fonction du second degré : Graphique et Tableau

Contextualisation

Les fonctions quadratiques occupent une place centrale en mathématiques grâce à leur application dans de nombreux domaines. En effet, une fonction quadratique s'exprime sous la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes, avec a ≠ 0. Son graphique, une parabole, peut s'ouvrir vers le haut ou vers le bas selon le signe de a. Ce type de fonction est indispensable pour analyser des comportements non linéaires et modéliser aussi bien des phénomènes naturels que des situations techniques, comme le trajet d’un projectile ou la conception d’une antenne parabolique. Outre leur intérêt théorique, les fonctions quadratiques offrent des applications pratiques concrètes. Par exemple, la trajectoire d’un ballon de basket ou d’une pierre suit une courbe parabolique. En économie, elles permettent de modéliser la relation entre coût et production, optimisant ainsi les processus pour maximiser les profits. Savoir établir des graphiques et des tableaux de ces fonctions facilite leur interprétation et la prise de décisions fondée sur des données chiffrées.

À Retenir!

Définition de la Fonction Quadratique

Une fonction quadratique est un polynôme du second degré s’exprimant sous la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes avec a ≠ 0. Cette expression, appelée forme standard, permet d’analyser la forme de la parabole associée. Le coefficient a détermine l’orientation de la courbe : si a > 0, la parabole s’ouvre vers le haut ; si a < 0, elle s’ouvre vers le bas. Le terme b influence la pente, tandis que c correspond au point d'intersection avec l'axe des ordonnées. La fonction se caractérise également par une symétrie, matérialisée par une droite verticale passant par son sommet. Pour trouver l’abscisse du sommet, on utilise la formule x = -b/2a, puis en remplaçant cette valeur dans la fonction, on obtient l’ordonnée. Par ailleurs, les racines (ou zéros) de la fonction, c’est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0, se calculent à l’aide de la formule x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a), et représentent les points où la parabole croise l’axe des abscisses.

• La fonction quadratique s’exprime sous la forme f(x) = ax² + bx + c.

• Le coefficient a détermine l’orientation de la parabole.

• Le sommet se trouve en calculant x = -b/2a.

• Les racines sont déterminées grâce à la formule quadratique.

Graphique de la Fonction Quadratique

Le graphique d’une fonction quadratique se présente sous la forme d’une parabole, caractérisée par une symétrie autour de son axe de symétrie. Ce dernier passe par le sommet, qui représente le point de minimum ou de maximum de la fonction. L’orientation de la parabole (vers le haut ou vers le bas) dépend du signe de a : une valeur positive indique une ouverture vers le haut, tandis qu’une valeur négative entraîne une ouverture vers le bas. Pour déterminer précisément le point extrême, on calcule d’abord l’abscisse du sommet avec x = -b/2a, puis on trouve l’ordonnée correspondante en remplaçant dans la fonction. L’axe de symétrie, défini par la même valeur x = -b/2a, divise la parabole en deux parties identiques. Enfin, les racines, c’est-à-dire les intersections avec l’axe des abscisses, se trouvent en résolvant f(x) = 0.

• Le graphique d’une fonction quadratique est une parabole.

• Le signe de a conditionne l’orientation de la parabole.

• Le sommet indique le point de minimum ou de maximum.

• L’axe de symétrie, passant par le sommet, divise la parabole en deux parties égales.

Tableau de Valeurs

Un tableau de valeurs est un outil essentiel pour visualiser la relation entre x et f(x) dans une fonction quadratique. Pour le réaliser, on choisit différentes valeurs de x, que l’on substitue dans l’équation pour obtenir les valeurs correspondantes de f(x). Ces couples (x, f(x)) sont ensuite représentés sur un plan cartésien afin de tracer la courbe. Cette méthode permet d’identifier facilement des points clés, comme le sommet ou les racines de la parabole, et de mettre en évidence sa symétrie. Par exemple, pour la fonction f(x) = x² - 4x + 3, en évaluant f(x) pour une série de valeurs allant de -1 à 5, on peut constituer un tableau qui servira de base à l’esquisse du graphique.

• Le tableau de valeurs met en relation x et f(x).

• Il suffit de choisir diverses valeurs de x et de calculer f(x) pour chaque cas.

• Le tableau permet d’identifier des points importants comme le sommet et les racines.

Exemple Pratique

Prenons un exemple concret avec la fonction f(x) = x² - 4x + 3. D’abord, identifions les coefficients : a = 1, b = -4 et c = 3. Ensuite, construisons un tableau de valeurs en choisissant différentes valeurs de x et en déterminant f(x) pour chacune :

• Pour x = -1 : f(x) = (-1)² - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8

• Pour x = 0 : f(x) = 0² - 4(0) + 3 = 3

• Pour x = 1 : f(x) = 1² - 4(1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0

• Pour x = 2 : f(x) = 2² - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1

• Pour x = 3 : f(x) = 3² - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0

• Pour x = 4 : f(x) = 4² - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3

• Pour x = 5 : f(x) = 5² - 4(5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8 À partir de ces données, il est possible de tracer le graphique de la fonction. Ensuite, en appliquant la formule x = -b/2a, on trouve que le sommet se situe en x = 2. En substituant x = 2 dans l’équation, on obtient f(2) = -1, ce qui positionne le sommet au point (2, -1). L’axe de symétrie est alors la droite x = 2 et les racines, où la parabole croise l’axe des abscisses, se trouvent en x = 1 et x = 3. Cet exemple illustre parfaitement comment la théorie se traduit en pratique grâce aux tableaux de valeurs et aux graphiques.

• Exemple concret avec f(x) = x² - 4x + 3.

• Construction d’un tableau de valeurs pour diverses valeurs de x.

• Identification du sommet, de l’axe de symétrie et des racines.

Termes Clés

• Fonction Quadratique : Un polynôme du second degré exprimé sous la forme f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0.

• Parabole : Le graphique d'une fonction quadratique, qui s’ouvre soit vers le haut, soit vers le bas.

• Sommet : Le point de minimum ou de maximum de la parabole, déterminé par x = -b/2a.

• Axe de Symétrie : La droite verticale passant par le sommet et divisant la parabole en deux parties symétriques.

• Racines : Les solutions de l'équation f(x) = 0, calculées grâce à la formule quadratique.

• Coefficient a : Le paramètre qui détermine l’orientation de la parabole (ouverture vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0).

• Tableau de Valeurs : Un outil permettant de représenter de manière concrète la relation entre x et f(x).

Conclusions Importantes

Au terme de cette leçon, nous avons approfondi les notions relatives aux fonctions quadratiques, en nous focalisant sur leur représentation graphique et la mise en place de tableaux de valeurs. Nous avons vu que f(x) = ax² + bx + c permet de définir une fonction dont la parabole associée présente un sommet, un axe de symétrie et des racines, que l’on peut déterminer à l’aide de la formule quadratique. La réalisation d’un tableau de valeurs offre une méthode visuelle efficace pour analyser le comportement de la fonction et pour en extraire les points clés. Cet exemple pratique nous a permis de comprendre comment appliquer la théorie pour étudier concrètement le mouvement parabolique, que ce soit en mathématiques, en physique ou en économie, facilitant ainsi l’interprétation des données et la prise de décisions éclairées.

Conseils d'Étude

• Exercez-vous régulièrement à construire des tableaux de valeurs et à tracer des graphiques pour différentes fonctions quadratiques afin d’affiner votre compréhension de la relation entre les coefficients et la forme de la parabole.

• Révisez la formule quadratique et entraînez-vous à résoudre des équations du second degré pour trouver les racines, une compétence essentielle pour une analyse complète.

• Explorez les applications pratiques des fonctions quadratiques dans des disciplines variées, comme la physique ou l'économie, pour mieux saisir leur utilité dans des situations concrètes.