Objectifs
1. Comprendre la structure d'un système d'équations linéaires et ses inconnues.
2. Rédiger un système linéaire sous forme matricielle Ax=b, en identifiant correctement la matrice des coefficients (A), le vecteur des variables (x) et le vecteur des termes constants (b).
Contextualisation
Les systèmes linéaires constituent des outils mathématiques indispensables dans de nombreux domaines, que ce soit en ingénierie, en informatique ou en économie. Par exemple, ils interviennent dans la résolution de problèmes d’optimisation, comme l’allocation optimale des ressources dans une entreprise ou la détermination de l’itinéraire de livraison le plus efficace. Savoir poser et résoudre un système linéaire sous forme matricielle est essentiel pour aborder de manière organisée et efficiente des problématiques complexes.
Pertinence du sujet
À retenir !
Concept de Systèmes Linéaires
Un système d'équations linéaires est constitué d'un ensemble d'équations partagées par des variables communes. La particularité réside dans le fait que chaque équation se représente par une droite dans un espace à n dimensions, n correspondant au nombre de variables.
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Définition : Ensemble d'équations linéaires avec des variables communes.
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Importance : Permet de résoudre des problèmes impliquant plusieurs variables interconnectées.
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Représentation : Chaque équation est représentée par une droite dans un espace à n dimensions.
Représentation Matricielle des Systèmes Linéaires
La représentation matricielle permet de formuler un système linéaire de façon concise en utilisant des matrices et des vecteurs. La matrice des coefficients (A) regroupe les coefficients des variables, le vecteur des variables (x) réunit les inconnues, et le vecteur des termes constants (b) rassemble les valeurs indépendantes.
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Simplicité : Facilite la manipulation et la résolution de systèmes complexes.
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Composants : Matrice des coefficients (A), vecteur des variables (x) et vecteur des termes constants (b).
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Notation : Exprimé sous la forme Ax=b.
Méthode d'Élimination de Gauss
La méthode d'élimination de Gauss est une technique utilisée pour résoudre les systèmes d'équations linéaires. Elle consiste à transformer la matrice des coefficients en une matrice triangulaire supérieure, ce qui permet de trouver les valeurs des variables par substitution arrière.
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Objectif : Convertir la matrice des coefficients en une forme triangulaire supérieure.
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Processus : Utilise des opérations sur les lignes pour simplifier la matrice.
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Résultat : Facilite le calcul des solutions par substitution arrière.
Applications pratiques
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Optimiser les itinéraires de livraison dans le secteur de la logistique.
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Gérer l'allocation des ressources dans des projets d'ingénierie.
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Analyser des données économiques pour prévoir les tendances du marché.
Termes clés
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Systèmes Linéaires : Ensemble d'équations linéaires avec des variables communes.
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Matrice des Coefficients (A) : Matrice contenant les coefficients des variables dans les équations.
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Vecteur des Variables (x) : Vecteur regroupant les inconnues du système.
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Vecteur des Termes Constants (b) : Vecteur contenant les valeurs indépendantes des équations.
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Élimination de Gauss : Méthode utilisée pour résoudre un système linéaire en transformant la matrice des coefficients en une matrice triangulaire supérieure.
Questions pour réflexion
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En quoi la capacité à représenter des problèmes complexes sous forme de systèmes linéaires facilite-t-elle leur résolution dans des domaines comme l'ingénierie, l'économie ou l'informatique ?
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Pensez à une situation quotidienne nécessitant l'optimisation des ressources. Comment pourriez-vous appliquer vos connaissances des systèmes linéaires pour résoudre ce problème ?
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Quels obstacles avez-vous rencontrés dans le travail en groupe lors du mini défi proposé en classe, et comment pourraient-ils être surmontés dans de futurs projets ?
Optimisation de la Production dans une Usine
Mettez en pratique vos connaissances sur les systèmes linéaires pour résoudre un problème d'optimisation de la production dans une usine fictive.
Instructions
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Constituez des groupes de 4 à 5 étudiants.
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Lisez le scénario : Une usine doit optimiser la production de trois produits (A, B et C) en tenant compte de ressources limitées (matières premières, heures de travail et capital).
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Identifiez les variables : Quantité produite de chaque produit (x1, x2 et x3).
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Formulez les équations traduisant les contraintes de ressources ainsi que la fonction objectif, visant à maximiser le profit.
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Exprimez le système d'équations sous forme matricielle Ax=b.
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Résolvez ce système en utilisant la méthode d'élimination de Gauss pour trouver la production optimale de chaque produit.
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Préparez une présentation concise expliquant votre démarche et la façon dont elle permet d'optimiser la production de l'usine.
