Résumé de Nombres Complexes : Opérations de Base

Objectifs

1. Comprendre et réaliser les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division et d'exponentiation sur les nombres complexes en forme algébrique.

2. Acquérir des compétences concrètes grâce à des activités de fabrication mettant en jeu les nombres complexes.

3. Faire le lien entre les concepts mathématiques et leurs applications concrètes dans le monde professionnel.

Contextualisation

Les nombres complexes occupent une place essentielle dans divers domaines des mathématiques et de l'ingénierie. Ils permettent de résoudre des équations impliquant les racines de nombres négatifs, ce que ne peuvent faire les nombres réels. Par exemple, en électronique, ils sont indispensables pour analyser les circuits en courant alternatif, calculer des impédances ou encore étudier la résonance. En infographie, ils interviennent dans les algorithmes de rendu 3D pour réaliser des transformations et des rotations d’objets.

Pertinence du sujet

À retenir !

Addition de nombres complexes

L'addition des nombres complexes se fait en additionnant séparément leurs parties réelles et imaginaires. Ainsi, en additionnant (3 + 4i) à (2 - 3i), on somme les parties réelles (3 + 2) et les parties imaginaires (4i - 3i), ce qui donne (5 + i).

• Additionner séparément les parties réelles et imaginaires.

• Le résultat est un nouveau nombre complexe.

• Utilisation dans l'addition d'impédances dans des circuits électriques.

Soustraction de nombres complexes

La soustraction se réalise de la même manière que l'addition : on soustrait séparément les parties réelles et les parties imaginaires. Par exemple, soustraire (5 + 2i) de (7 - 4i) revient à calculer (7 - 5) pour les réelles et (-4i - 2i) pour les imaginaires, soit (2 - 6i).

• Soustraire séparément les parties réelles et imaginaires.

• Le résultat est un nouveau nombre complexe.

• Indispensable pour déterminer la différence d'impédance dans des circuits.

Multiplication de nombres complexes

Pour multiplier des nombres complexes, on applique la distributivité en gardant à l'esprit que i² = -1. Par exemple, multiplier (1 + i) par (2 - 3i) revient à calculer (12) + (1-3i) + (i2) + (i-3i), ce qui donne (2 - 3i + 2i - 3i²). En remplaçant i² par -1, on obtient (2 - 3i + 2i + 3) soit (5 - i).

• Appliquer la distributivité.

• Utiliser i² = -1 pour simplifier.

• Le résultat est un nouveau nombre complexe.

• Important pour réaliser des transformations en infographie.

Division de nombres complexes

Pour diviser des nombres complexes, il faut multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur afin de simplifier l'expression. Ainsi, pour diviser (6 + 2i) par (3 - i), on multiplie le numérateur et le dénominateur par (3 + i), ce qui donne [(6 + 2i)(3 + i)] / [(3 - i)(3 + i)]. En simplifiant, on obtient (18 + 6i + 2i + 2) / (9 + 1), soit (20 + 8i) / 10, ce qui se réduit à (2 + 0,8i).

• Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

• Simplifier l'expression obtenue.

• Le résultat est un nombre complexe.

• Essentiel pour résoudre certaines équations en ingénierie électrique.

Exponentiation de nombres complexes

L'exponentiation peut se faire en utilisant soit la forme algébrique, soit la forme polaire. En forme algébrique, on élève chaque partie du nombre complexe. Par exemple, (1 + 2i)² se développe en (1 + 2i)(1 + 2i), donnant (1 + 4i + 4i²), ce qui se simplifie, en tenant compte que i² = -1, en (-3 + 4i).

• Développer l'expression en forme algébrique.

• Simplifier en appliquant i² = -1.

• Le résultat obtenu est un nouveau nombre complexe.

• Utilisation dans l'analyse de signaux ou les systèmes dynamiques.

Applications pratiques

• Ingénierie électrique : Analyse de circuits en courant alternatif, incluant le calcul d'impédances et l'étude de la résonance.

• Infographie : Algorithmes de rendu 3D, avec transformations et rotations d’objets.

• Télécommunications : Conception et optimisation de systèmes de communication, grâce à la modélisation des signaux et des fréquences à l’aide des nombres complexes.

Termes clés

• Nombres complexes : Des nombres composés d'une partie réelle et d'une partie imaginaire, généralement écrits sous la forme a + bi, où i est l'unité imaginaire.

• Partie réelle : La composante du nombre complexe qui ne contient pas l'unité imaginaire i.

• Partie imaginaire : La partie du nombre complexe associée à l'unité imaginaire i.

• Conjugué d'un nombre complexe : Un nombre complexe ayant la même partie réelle et une partie imaginaire opposée, par exemple, le conjugué de a + bi est a - bi.

• Impédance : Une mesure de la résistance qu'oppose un circuit électrique au passage d’un courant alternatif, représentée par un nombre complexe.

Questions pour réflexion

• En quoi la compréhension des nombres complexes peut-elle vous être utile dans votre futur parcours professionnel ?

• Quelles difficultés avez-vous rencontrées en travaillant avec ces nombres et comment les avez-vous surmontées ?

• Comment les concepts étudiés peuvent-ils être appliqués à des situations concrètes en dehors des domaines de l’ingénierie et de l’informatique ?

Simulation d’un circuit électrique à l’aide de nombres complexes

Dans ce mini-challenge, vous mettrez en pratique les opérations sur les nombres complexes pour calculer l’impédance totale d’un circuit en courant alternatif simulé.

Instructions

• Formez des groupes de 4 à 5 élèves.

• Recevez un kit de composants électroniques simulés (cartes indiquant des valeurs d'impédance représentées par des nombres complexes).

• Assemblez un circuit simple (en série ou en parallèle) en utilisant les composants fournis.

• Calculez l'impédance totale du circuit grâce aux opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division sur les nombres complexes.

• Présentez votre circuit à la classe et expliquez votre démarche de calcul de l'impédance totale.