Résumé Tradisional | Systèmes Linéaires : Résolution

Contextualisation

Les systèmes linéaires désignent des ensembles de deux ou plusieurs équations linéaires portant sur plusieurs variables. L’objectif est de trouver simultanément les valeurs de ces variables qui satisfont chacune des équations. Cette approche est une compétence clé en algèbre et se retrouve dans de nombreux domaines comme l’ingénierie, l’économie ou l’informatique. Par exemple, dans le secteur de l’ingénierie, ils servent à déterminer les forces dans une structure, tandis qu’en économie, ils participent à la prévision des marchés financiers. La capacité à résoudre efficacement ces systèmes permet de modéliser et d’analyser des situations concrètes, faisant de cette méthode un outil indispensable pour aborder des problèmes complexes.

À Retenir!

Concept des Systèmes Linéaires

Un système linéaire est constitué de deux ou plusieurs équations linéaires qui impliquent plusieurs variables. La solution de ce système correspond aux valeurs communes à toutes les équations. On distingue généralement trois cas : les systèmes indépendants et cohérents (à solution unique), les systèmes dépendants et cohérents (ayant une infinité de solutions) et les systèmes inconséquents (sans solution).

Dans une représentation géométrique, chaque équation peut être vue comme une droite (en deux dimensions) ou un plan (en trois dimensions). La solution du système correspond alors au point ou à l’ensemble de points d’intersection de ces droites ou plans. Par exemple, dans le cas d’un système à deux variables, la solution se trouve à l’intersection de deux droites dans le plan cartésien.

Maîtriser ce concept est essentiel, car il pose les bases nécessaires à l'utilisation de méthodes plus sophistiquées pour résoudre des problèmes de plus grande envergure.

• Un système linéaire réunit deux ou plusieurs équations impliquant plusieurs variables.

• Il peut admettre une solution unique, une infinité de solutions ou aucune solution.

• La solution se trouve à l’intersection des représentations géométriques (lignes ou plans) des équations.

Méthode de Cramer

La méthode de Cramer est une technique algébrique qui repose sur le calcul de déterminants pour résoudre des systèmes linéaires, et s’applique uniquement lorsque le système est carré, c’est-à-dire lorsque le nombre d’équations est égal au nombre de variables. Pour utiliser cette méthode, il convient de calculer le déterminant de la matrice de coefficients, ainsi que ceux obtenus en remplaçant successivement une colonne par le vecteur des constantes de chaque équation.

Par exemple, dans un système 2x2, la solution se déduit via les formules x = Dₓ/D et y = D_y/D, où D représente le déterminant de la matrice des coefficients, Dₓ celui obtenu en remplaçant la colonne des coefficients de x par les constantes, et de même pour D_y. Pour des systèmes 3x3, le principe reste le même bien que le calcul soit plus lourd.

Il faut noter que cette méthode n’est applicable que si le déterminant de la matrice des coefficients est non nul ; sinon, le système est soit inconsistant, soit admet une infinité de solutions.

• La méthode de Cramer empêche les systèmes linéaires carrés en utilisant le calcul des déterminants.

• Il faut calculer le déterminant de la matrice des coefficients ainsi que ceux issus des remplacements de colonnes.

• La méthode ne fonctionne que lorsque le déterminant de la matrice de coefficients est non nul.

Méthode de l’Échelonnement (Élimination de Gauss)

La méthode de l’échelonnement, également appelée élimination de Gauss, consiste à transformer un système linéaire en une forme échelonnée par le biais d’opérations élémentaires sur les lignes (comme l’échange de lignes, la multiplication d’une ligne par un coefficient non nul, ou l’addition d’un multiple d’une ligne à une autre). L’objectif est d’obtenir une matrice en forme triangulaire supérieure ou diagonale qui simplifie la résolution du système par substitution inverse.

En pratique, on part d’une matrice augmentée représentant le système, puis on applique ces opérations pour obtenir une forme échelonnée. Une fois cette forme obtenue, on résout le système en commençant par l’équation la plus simple (celle en bas, contenant une seule variable) et en remontant progressivement.

Cette méthode est très efficace et s’adapte à des systèmes de toute dimension, mais elle peut être vulnérable aux erreurs d'arrondi lors de calculs numériques complexes.

• La méthode de l’échelonnement transforme le système en appliquant des opérations élémentaires sur les lignes.

• Le but est d’obtenir une matrice triangulaire ou diagonale, facilitant ainsi la résolution par substitution inverse.

• Cette technique est robuste pour des systèmes de toutes tailles mais requiert de la prudence avec les erreurs d’arrondi.

Méthode de Substitution

La méthode de substitution est une approche simple surtout adaptée aux systèmes comportant deux ou trois équations. Elle consiste à isoler une variable dans l’une des équations, puis à substituer l’expression obtenue dans les autres équations. Ce procédé est répété jusqu’à obtenir une équation à une seule inconnue, dont la solution peut être directement déterminée. Les valeurs ainsi trouvées servent ensuite à résoudre les équations précédentes.

Cette méthode est particulièrement pratique quand l’une des équations se prête bien à l’isolement d’une variable. Toutefois, elle peut rapidement devenir fastidieuse et générer des erreurs en cas de systèmes plus volumineux ou complexes, et n’est pas adaptée aux systèmes inconsistants ou indéterminés.

• La méthode de substitution consiste à isoler une variable et à l’introduire dans les autres équations.

• Elle est idéale pour des systèmes de deux ou trois équations.

• Pour des systèmes plus importants, cette méthode peut s’avérer laborieuse et source d’erreurs.

Termes Clés

• Systèmes Linéaires : Ensemble de deux ou plusieurs équations linéaires impliquant plusieurs variables.

• Méthode de Cramer : Technique algébrique utilisant les déterminants pour résoudre les systèmes linéaires carrés.

• Échelonnement : Processus permettant de transformer un système linéaire par opérations sur les lignes pour obtenir une forme plus simple.

• Élimination de Gauss : Synonyme de la méthode de l’échelonnement.

• Méthode de Substitution : Technique consistant à isoler une variable puis à substituer cette expression dans les autres équations.

• Méthode de l'Addition : Procédé qui consiste à additionner ou soustraire les équations afin d’éliminer une variable.

• Déterminants : Valeurs associées aux matrices, essentielles dans certaines méthodes comme celle de Cramer.

• Matrices : Structures rectangulaires de nombres utilisées pour représenter les systèmes linéaires.

• Résolution de Problèmes : Processus de recherche de solutions pour un système linéaire à l’aide de méthodes algébriques.

Conclusions Importantes

Dans cette leçon, nous avons exploré les principes fondamentaux et les diverses méthodes de résolution des systèmes linéaires, c’est-à-dire des ensembles d’équations linéaires à variables multiples. Nous avons détaillé la méthode de Cramer, qui fait appel aux déterminants, et la méthode de l’échelonnement (ou élimination de Gauss) qui simplifie le système pour en faciliter la résolution par substitution. Nous avons également abordé la méthode de substitution, particulièrement adaptée aux systèmes de faible dimension.

La maîtrise de ces techniques est primordiale, car elle permet d’aborder des problèmes concrets rencontrés dans des domaines variés, notamment en ingénierie, en économie et en informatique. En pratiquant et en approfondissant ces méthodes, les étudiants pourront développer une compréhension plus fine des problématiques mathématiques et de leurs applications pratiques.

Conseils d'Étude

• Revoir les notions fondamentales sur les matrices et les déterminants, indispensables à l’application de la méthode de Cramer.

• S’entraîner sur différents types de systèmes linéaires en utilisant plusieurs méthodes afin d’identifier celle qui est la plus adaptée à chaque situation.

• Rechercher des cas concrets issus de domaines variés tels que l’ingénierie ou l’économie pour mieux comprendre l’utilité pratique de ces méthodes.