Ringkasan dari Progresi Aritmetika: Jumlah

TOPIK

Kata Kunci

• Deret Aritmatika (DA)
• Suku Umum (un)
• Beda (b)
• Jumlah Suku (Sn)
• Barisan Bilangan
• Suku Pertama (u1)

Pertanyaan Kunci

• Bagaimana mengidentifikasi DA?
• Apa rumus suku umum suatu DA?
• Bagaimana menghitung jumlah suku suatu DA?
• Apa hubungan antara jumlah dan suku-suku suatu DA?

Topik Penting

• Definisi: Barisan bilangan di mana selisih antar suku yang berurutan tetap.
• Rumus Suku Umum: un = u1 + (n - 1) * b
• Rumus Jumlah Suku: Sn = n/2 * (u1 + un)

Rumus

• Suku Umum DA: un = u1 + (n - 1) * b
• Jumlah n Suku Pertama DA: Sn = (n * (u1 + un)) / 2 atau Sn = n/2 * (2u1 + (n-1) * b)

CATATAN

Istilah-istilah Kunci

• Deret Aritmatika (DA): Barisan bilangan di mana setiap suku, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya ditambah dengan suatu konstanta b (beda).
• Suku Umum (un): Nilai sembarang suku dalam barisan, yang terletak pada posisi n.
• Beda (b): Selisih tetap antar suku yang berurutan.
• Jumlah Suku (Sn): Hasil penjumlahan dari n suku pertama DA.
• Suku Pertama (u1): Anggota pertama barisan.

Gagasan Utama, Informasi, dan Konsep

• Suatu DA ditentukan oleh suku pertama dan bedanya. Keduanya menentukan seluruh barisan.
• Beda adalah kunci untuk mencari suku setelahnya dalam barisan.
• Jumlah suku-suku suatu DA dapat dicari tanpa harus menjumlahkan setiap suku satu per satu.

Materi Topik

• Untuk mencari Jumlah n Suku Pertama (Sn) suatu DA, kita menggunakan salah satu dari dua rumus yang ekuivalen, bergantung pada data yang tersedia:
  • Rumus Jumlah Pertama (menggunakan suku pertama dan suku terakhir): Sn = n/2 * (u1 + un)
  • Rumus Jumlah Kedua (menggunakan suku pertama dan beda): Sn = n/2 * (2u1 + (n - 1) * b)

Contoh dan Kasus

• Contoh 1: Diketahui suatu DA (2, 4, 6, 8, 10), hitunglah jumlah 5 suku pertama.

  • Kita identifikasi suku pertama (u1 = 2) dan bedanya (b = 2).
  • Kita gunakan rumus jumlah kedua: Sn = 5/2 * (2*2 + (5 - 1) * 2) = Sn = 5/2 * (4 + 8) = Sn = 5/2 * 12 = Sn = 30
  • Jumlah suku-sukunya adalah 30.

• Contoh 2: Jika u1 = 3 dan bedanya b = 5, berapa jumlah 20 suku pertama?

  • Dengan suku pertama (u1 = 3) dan beda (b = 5), kita tentukan suku umum DA: un = 3 + (20 - 1) * 5 = un = 3 + 95 = un = 98.
  • Kita gunakan rumus jumlah pertama: Sn = 20/2 * (3 + 98) = Sn = 10 * 101 = Sn = 1010
  • Jumlah suku-sukunya adalah 1010.

Rumus-rumus dan contoh-contoh ini penting karena memungkinkan kita menghitung jumlah suku suatu DA dengan cepat dan efisien, sebuah keterampilan yang berguna dalam berbagai aplikasi matematika dan kehidupan sehari-hari.

RINGKASAN

Poin-poin Penting

• Definisi DA: Suatu barisan bilangan di mana selisih antara setiap pasangan suku yang berurutan adalah konstan, yang disebut beda (b).
• Suku Umum (un): Memungkinkan kita menghitung setiap suku barisan dengan menggunakan rumus un = u1 + (n - 1) * b.
• Jumlah Suku (Sn): Jumlah n suku pertama dapat dicari dengan cepat menggunakan rumus Sn = n/2 * (u1 + un) atau Sn = n/2 * (2u1 + (n - 1) * b).

Kesimpulan

• Struktur DA ditentukan oleh suku pertamanya (u1) dan bedanya (b).
• Jumlah suku-suku suatu DA tidak memerlukan penjumlahan setiap suku satu per satu, tetapi menggunakan rumus-rumus tertentu untuk penghitungan cepat.
• Mengetahui suku umum dan rumus jumlah penting untuk menyelesaikan soal-soal yang melibatkan DA.
• Kemampuan menghitung jumlah suatu DA memiliki aplikasi praktis dalam berbagai konteks, memperkuat pentingnya memahami dan menerapkan konsep matematika tersebut.