Pendahuluan

Relevansi Topik

Polinomial merupakan konsep dasar matematika dan hadir di berbagai bidang, termasuk sains dan teknik. Menguasai kemampuan menghitung sisa pembagian polinomial sangat penting dalam menyelesaikan persamaan polinomial, yang umum ditemui dalam situasi dunia nyata, seperti pemodelan finansial, fisika, dan teknik. Pemahaman tentang sisa juga memperkaya pemahaman tentang teorema dasar aljabar.

Kontekstualisasi

Sisa pembagian polinomial merupakan langkah terakhir dalam urutan topik tentang polinomial. Ini mengintegrasikan pengetahuan sebelumnya tentang pembagian polinomial, faktorisasi, dan teorema sisa itu sendiri. Topik ini akan memperkuat dasar untuk topik-topik lebih lanjut yang mengikuti kurikulum, seperti penyelesaian persamaan polinomial berderajat lebih tinggi. Selain itu, topik ini memperkaya pemikiran logis dan kemampuan manipulasi aljabar siswa.

Pengembangan Teoritis

Komponen

• Polinomial: Merupakan ekspresi matematika yang terdiri dari istilah-istilah yang memuat variabel dan koefisien. Polinomial dari satu variabel biasanya ditulis dalam bentuk: P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0, di mana a_n, a_{n-1}, ..., a_2, a_1, a_0 menyatakan koefisien dan n adalah derajat polinomial. Pemahaman lengkap tentang apa itu polinomial sangat penting untuk memahami cara memperoleh sisa pembagiannya.

• Pembagian Polinomial: Pembagian polinomial mirip dengan algoritma pembagian panjang yang kita gunakan dengan bilangan bulat, tetapi di sini kita menggunakan polinomial, bukan angka. Untuk memperoleh sisa pembagian polinomial, perlu dilakukan operasi pembagian hingga tuntas. Penting untuk ditekankan bahwa pembagi tidak boleh berupa polinomial nol.

• Sisa: Dalam pembagian polinomial, sisa adalah polinomial, yang derajatnya (jika bukan nol) selalu lebih rendah dari derajat pembagi. Jika derajat dividen lebih rendah dari pembagi, dividen itu sendiri merupakan sisanya. Sisa memiliki peran mendasar dalam memahami pembagian polinomial.

Istilah Kunci

• Dividen: Polinomial yang akan dibagi.

• Pembagi: Polinomial yang digunakan untuk membagi dividen.

• Hasil Bagi: Hasil pembagian.

• Sisa: Polinomial yang tersisa setelah menyelesaikan pembagian.

• Teorema Sisa: Teorema menyatakan bahwa, untuk polinomial P(x) dan bilangan real apa pun a, jika kita membagi P(x) dengan (x – a), maka sisanya adalah P(a).

Contoh dan Kasus

• Contoh 1:

  • Dividen: x^3 + 4x^2 - 5x + 6
  • Pembagi: x - 2
  • Hasil bagi: x^2 + 6x + 7
  • Sisa: 20

• Contoh 2:

  • Dividen: 2x^4 - 3x^2 + x + 7
  • Pembagi: x^2 - 1
  • Hasil bagi: 2x^2 - 3x + 4
  • Sisa: 4x + 3

• Teorema Sisa:

  • Polinomial: P(x) = x^3 - 2x^2 - 9x + 18
  • Bilangan real: a = 3
  • Menurut Teorema Sisa, jika P(x) dibagi dengan x - 3, sisanya adalah P(3) = 3^3 - 2(3)^2 - 9*3 + 18 = 0. Artinya, x = 3 merupakan akar dari polinomial.

Ringkasan Mendetail

Poin Relevan

• Definisi Polinomial: Memahami bahwa polinomial merupakan ekspresi matematika yang terbentuk dari istilah-istilah dengan variabel dan koefisien merupakan dasar yang kuat untuk menangani pembagian polinomial dan penghitungan sisa.

• Algoritma Pembagian: Proses pembagian polinomial mengikuti algoritma yang mirip dengan pembagian panjang bilangan bulat. Menguasai metode pembagian ini sangat penting untuk mengidentifikasi hasil bagi dan sisa.

• Sisa Pembagian: Polinomial yang dihasilkan dari proses pembagian disebut sisa. Derajatnya lebih kecil dari pembagi dan memberikan informasi berharga tentang pembagian polinomial.

• Relevansi Sisa: Memahami konsep sisa dalam pembagian polinomial sangat penting untuk menyelesaikan persamaan polinomial dan untuk memahami teorema sisa.

• Teorema Sisa: Teorema ini menetapkan bahwa jika suatu polinomial P(x) dibagi dengan (x – a), maka sisanya sama dengan P(a). Ini merupakan alat yang ampuh yang dapat sangat menyederhanakan penghitungan sisa, menghindari pelaksanaan pembagian polinomial secara tuntas.

Kesimpulan

• Pemahaman Pembagian Polinomial: Pembagian polinomial bukan hanya teknik matematika, tetapi juga sarana yang sangat baik untuk mengembangkan pemikiran logis dan keterampilan manipulasi aljabar.

• Pentingnya Sisa: Sisa memainkan peran mendasar dalam memahami pembagian polinomial dan dalam mempelajari persamaan polinomial.

• Penerapan Teorema Sisa: Teorema sisa merupakan alat yang memungkinkan pemeriksaan cepat tentang pembagian suatu polinomial dengan binomial jenis (x - a), tanpa perlu melakukan pembagian tuntas.

Latihan

1. Bagi polinomial (3x^3 - 5x^2 + 8) dengan polinomial (x - 2) dan cari sisanya.

2. Dengan menggunakan teorema sisa, periksa apakah angka (x = 3) merupakan akar dari polinomial (2x^3 - 9x^2 + 12x - 8).

3. Cari sisa pembagian polinomial (x^4+x^3-2x^2-3x-5) dengan polinomial (x^2+2x-3) menggunakan algoritma pembagian dan teorema sisa.