Riassunto di Relazioni ed equazioni di grandezze

Obiettivi

1. Verificare il tipo di relazione esistente tra due quantità e capire se siano direttamente o inversamente proporzionali.

2. Esplicitare la relazione tra quantità usando espressioni algebriche.

3. Associare equazioni lineari di primo grado in due incognite alla rappresentazione grafica di rette nel piano cartesiano.

Contestualizzazione

Le relazioni tra quantità sono parte integrante della vita di tutti i giorni e svolgono un ruolo fondamentale in molte professioni. Per esempio, in cucina la quantità degli ingredienti varia proporzionalmente rispetto al numero di porzioni da preparare. In ingegneria, le proprietà delle relazioni proporzionali sono utilizzate nella progettazione di strutture sicure, come ponti ed edifici. Anche in ambito economico, l’analisi dei dati si basa spesso sull’identificazione di relazioni tra variabili per prevedere le tendenze di mercato. Comprendere questi legami permette di affrontare problemi pratici con maggiore efficacia e precisione.

Rilevanza della Materia

Da Ricordare!

Relazioni Direttamente Proporzionali

Due quantità sono direttamente proporzionali quando, al variare di una, l’altra aumenta o diminuisce mantenendo una relazione costante. Ad esempio, se raddoppiamo la quantità di un ingrediente in una ricetta, anche il numero di porzioni prodotte raddoppia.

• Se A è direttamente proporzionale a B, si può esprimere la relazione con A = kB, dove k è la costante di proporzionalità.

• I grafici delle relazioni direttamente proporzionali sono rappresentati da rette che passano per l’origine nel piano cartesiano.

• Tra gli esempi più comuni troviamo il rapporto tra velocità e distanza percorsa in un certo intervallo di tempo, oppure il legame tra quantità di prodotto e costo totale.

Relazioni Inversamente Proporzionali

Due quantità sono inversamente proporzionali quando l’incremento di una comporta una diminuzione proporzionale dell’altra. Per esempio, se un rubinetto riempie un serbatoio in 3 ore, due rubinetti identici riempiranno lo stesso serbatoio in metà tempo, ossia in 1,5 ore.

• Se A è inversamente proporzionale a B, la relazione si esprime con A = k/B, dove k è la costante di proporzionalità.

• I grafici delle relazioni inversamente proporzionali formano iperboli nel piano cartesiano.

• Esempi concreti comprendono il rapporto tra velocità e tempo necessario per coprire una certa distanza, oppure il legame tra il numero di lavoratori e il tempo impiegato per completare un lavoro.

Equazioni Lineari di Primo Grado con Due Incognite

Un’equazione lineare in due incognite ha la forma ax + by = c, dove a, b e c sono costanti. La soluzione di quest’ equazione corrisponde a una retta nel piano cartesiano.

• La forma standard di un’equazione lineare è ax + by = c.

• Per rappresentare graficamente l’equazione, è sufficiente trovare due punti che soddisfano l’equazione e tracciarvi la retta che li congiunge.

• Questa tipologia di equazioni trova applicazione, ad esempio, nella determinazione di costi e ricavi di un’azienda, dove x e y rappresentano quantità diverse di prodotti o servizi offerti.

Applicazioni Pratiche

• Ingegneria Civile: Utilizzo delle relazioni proporzionali per stimare la quantità di materiali necessari alla costruzione di infrastrutture come ponti ed edifici.

• Economia: Analisi e interpretazione dei dati per prevedere l’andamento del mercato, riconoscendo relazioni proporzionali e inverse tra le variabili economiche.

• Medicina: Calcolo dei dosaggi dei farmaci in relazione al peso del paziente, basandosi su rapporti di proporzionalità.

Termini Chiave

• Relazioni Direttamente Proporzionali: Rapporto tra due quantità in cui una aumenta o diminuisce nella medesima proporzione dell’altra.

• Relazioni Inversamente Proporzionali: Rapporto tra due quantità in cui l’aumento di una comporta una diminuzione proporzionale dell’altra.

• Equazioni Lineari di Primo Grado: Equazioni della forma ax + by = c, con la loro rappresentazione grafica che corrisponde a una retta nel piano cartesiano.

• Frasi Algebriche: Espressioni matematiche che rappresentano la relazione tra quantità, impiegando variabili e costanti.

• Piano Cartesiano: Sistema di coordinate bidimensionale usato per rappresentare graficamente equazioni e rapporti tra quantità.

Domande per la Riflessione

• In che modo nella tua quotidianità si manifestano le relazioni direttamente e inversamente proporzionali? Fornisci esempi pratici.

• In che modo lo studio delle equazioni lineari potrebbe esserti utile nella tua futura carriera? Pensa a settori specifici.

• Quali insegnamenti hai tratto dall’attività pratica di costruire il modello del ponte e da come questa ha illustrato il concetto di proporzionalità?

Calcolare Proporzioni nella Vita di Tutti i Giorni

In questa mini-sfida, metterai in pratica il concetto di proporzionalità per risolvere problemi legati alla vita quotidiana.

Istruzioni

• Scegli un’attività quotidiana che preveda rapporti di proporzione, come ad esempio cucinare, gestire le spese o organizzare un viaggio.

• Individua due quantità legate da un rapporto proporzionale nell’attività scelta.

• Calcola la proporzione tra queste due quantità ed esprimi la relazione mediante una frase algebrica.

• Descrivi in che modo la comprensione di questa relazione possa agevolarti nel risolvere il problema in maniera più efficiente.

• Condividi i tuoi risultati con i colleghi e confronta diversi esempi di proporzioni presenti nella vita quotidiana.