授業計画 | 従来のメソッド | 複素数: 三角法形式

目標

時間: (10 - 15分)

この授業計画のこの段階の目的は、生徒が授業終了時に達成すべき目標を明確に理解することです。具体的な目標を定義することで、内容の理解が容易になり、教師が授業を構成する際の指針となり、生徒が複素数を三角形の形も代数的な形も扱うために必要なスキルを習得できるようにします。

主な目標

1. 複素数の三角形の形での表現を理解すること。

2. 代数形式から三角形式への複素数の変換。

3. 三角形式から代数形式への複素数の変換。

導入

時間: (10 - 15分)

この授業計画のこの段階の目的は、生徒に新しい概念を以前の知識とつなげる明確で魅力的な出発点を提供し、テーマの実際の関連性を示すことです。興味深い文脈と雑学を提供することで、教師は生徒の注意を引き、複素数の三角形の形についての学習を促進できます。

コンテキスト

複素数の三角形式についての授業を開始するためには、このテーマを生徒の代数形式の複素数に関する事前知識と関連付けることが重要です。複素数は実数の拡張であり、実部の他に虚部を持つことを説明します。複素数の代数形式 (z = a + bi) を簡単に振り返ります。次に、複素数が三角形の形で表されることができるという考え方を紹介し、それは数学や工学の様々な分野で非常に役立ちます。

好奇心

複素数は電気工学や物理学で広く使用されていることをご存知でしたか？たとえば、電気回路の分析や電磁波の記述に非常に重要です。さらに、三角形の形の複素数は、回転や幾何学的変換に関する多くの計算を簡素化し、コンピュータグラフィックスやロボティクスでは基本的な役割を果たします。

展開

時間: (50 - 60分)

この授業計画のこの段階の目的は、複素数の三角形式についての詳細で実践的な理解を提供することです。具体的なトピックを扱い、実際の問題を解決することで、生徒は習得した概念の直接的な適用が見えるようになり、代数形式と三角形式の間での変換に関する理解とスキルが強化されます。

カバーされたトピック

1. 三角形式の定義: 複素数の三角形式は、その大きさ（モジュール）とその引数（角度）に基づく表現です。複素数 z = a + bi の三角形の形は z = r (cos θ + i sin θ) で表され、ここで r は z のモジュールであり、θ は z の引数です。 2. モジュールの計算: 複素数 z = a + bi のモジュール r は r = √(a² + b²) として計算されます。数値の例を示し、生徒にいくつかの複素数のモジュールを計算させます。 3. 引数の計算: 複素数の引数 θ は、複素数を表すベクトルと正の実軸との間の角度です。複素数が第一および第四象限にある場合、θ = arctan(b/a) を使用して計算できます。他の象限においては、複素数の位置に応じて θ の値を調整します。 4. 代数形式から三角形式への変換: 代数形式（a + bi）から三角形の形（r(cos θ + i sin θ)）への変換について、具体例を使って示します。モジュールと引数を見つけるための明確なステップを含め、次に複素数を三角形式で表す方法を示します。 5. 三角形式から代数形式への変換: 三角形式（r(cos θ + i sin θ））から代数形式（a + bi）への複素数の変換方法を説明します。変換は実部（a = r cos θ）と虚部（b = r sin θ）を計算することを含みます。練習用の例を提供します。 6. 応用と実践的な例: 複素数の三角形式のいくつかの実際の応用について議論します。たとえば、電気工学におけるAC回路の分析や物理学における波の記述です。この形が便利な問題を提示します。

教室での質問

1. 複素数 3 + 4i を三角形式で表記せよ。 2. 複素数 5 (cos 45° + i sin 45°) を代数形式に変換せよ。 3. 複素数 -1 + √3i のモジュールと引数を計算し、三角形式で書け。

質問の討論

時間: (20 - 25分)

この授業計画のこの段階の目的は、生徒の学習を定着させ、解決された問題について詳細な議論を促進することです。これにより生徒は疑問を解消し、概念を強化し、実際の状況において習得した知識を応用できるようになります。反省的な質問を通じて、生徒の関与が内容の定着を助け、複素数の三角形式の応用についてより深い理解を得る手助けとなります。

討論

• 複素数 3 + 4i を三角形式で書きなさい。

• ステップ 1: モジュール (r) を計算:

•  r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
  

• ステップ 2: 引数 (θ) を計算:

•  θ = arctan(4/3) ≈ 53.13°
  

• 三角形式:

•  z = 5 (cos 53.13° + i sin 53.13°)
  

• 複素数 5 (cos 45° + i sin 45°) を代数形式に変換せよ。

• ステップ 1: 実部 (a) を計算:

•  a = 5 cos 45° = 5 (√2/2) = 5√2/2
  

• ステップ 2: 虚部 (b) を計算:

•  b = 5 sin 45° = 5 (√2/2) = 5√2/2
  

• 代数形式:

•  z = 5√2/2 + i 5√2/2
  

• 複素数 -1 + √3i のモジュールと引数を計算し、三角形式で書け。

• ステップ 1: モジュール (r) を計算:

•  r = √((-1)² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2
  

• ステップ 2: 引数 (θ) を計算:

•  θ = arctan(√3/-1) = arctan(-√3)。正しい象限を特定すると (第2象限):
  

•  θ = 180° - 60° = 120°
  

• 三角形式:

•  z = 2 (cos 120° + i sin 120°)
  

学生の関与

1. 複素数を三角形式に変換する際の最も大きな難しさは何でしたか？ 2. 三角形式は代数形式と比較して、計算をどのように簡単にしますか？ 3. 実際の状況で三角形式の複素数を使用することを想像できるのはどのような時ですか？ 4. 複素数がある象限に応じて引数の値を調整することが重要なのはなぜですか？

結論

時間: (10 - 15分)

この授業計画のこの段階の目的は、生徒の学習を定着させ、主な内容を振り返り、理論と実践のつながりを強調することです。これは、習得した知識を確実にし、学問的および専門的な文脈におけるテーマの重要性を示すのに役立ちます。

要約

• 複素数の三角形式は、その大きさ（モジュール）と引数（角度）に基づく表現です。
• 複素数 z = a + bi のモジュールは r = √(a² + b²) として計算されます。
• 複素数の引数は、複素数を表すベクトルと正の実軸との間の角度であり、θ = arctan(b/a) を用いて計算できます。
• 代数形式 (a + bi) から三角形式 (r(cos θ + i sin θ)) への変換には、モジュールと引数を計算する必要があります。
• 三角形式 (r(cos θ + i sin θ)) から代数形式 (a + bi) への変換には、実部 (a = r cos θ) と虚部 (b = r sin θ) を計算する必要があります。
• 三角形式の複素数は、電気工学や物理学などの様々な分野で役立ち、回転や幾何学的変換を伴う計算を簡素化します。

授業は、複素数を代数形式と三角形式の間でどのように変換するかを示し、数値の例や実践的な問題を使用することで、理論と実践を結び付けました。これにより、生徒は学んだ概念が実際の状況（例えば、電気回路の分析や電磁波の記述）でどのように適用されるかを理解できました。

提示されたテーマの重要性は、電気工学、物理学、コンピュータグラフィックスなどのさまざまな分野での広範な応用にあります。三角形式の複素数は多くの計算を簡素化し、AC回路の分析や波現象の記述のような日常的な問題を解決するために不可欠です。