(OBMEP 2023) - Soalan Mudah daripada Matematik

Dalam sebuah lingkaran dengan pusat O, pertimbangkan titik A dan B pada lingkaran dan titik P di luar lingkaran. Jika garis singgung ke lingkaran di A dan B bertemu di P dan PA = 6 dan PB = 8, berapakah ukuran kekuatan titik P?

Semasa pengubahsuaian rumah anda, anda memutuskan untuk menghias semula lantai pejabat anda. Setelah mengira luas bilik, anda menyedari bahawa salah satu jubin yang patah mempunyai bentuk segitiga, dan untuk menggantikannya, anda perlu membeli jubin baru dengan bentuk dan saiz yang sama. Jubin itu patah kepada tiga bahagian, membentuk tiga segitiga yang lebih kecil, dua daripadanya mempunyai luas yang boleh dinyatakan sebagai 1/5 daripada luas keseluruhan jubin asal, dan yang ketiga dengan luas yang adalah 3/20 daripada luas keseluruhan jubin asal. Untuk mengekalkan proporsi estetik lantai, anda memutuskan bahawa jubin baru yang akan dibeli mestilah tepat sama dengan jumlah luas ketiga-tiga segitiga yang lebih kecil. Mengambil kira bahawa luas jubin asal boleh diwakili oleh satu pecahan yang tidak boleh disederhanakan 'a/b', di mana 'a' dan 'b' adalah bilangan bulat positif dan 'a' adalah peng numer dan 'b' adalah penyebut, jawab: (1) Apakah luas jubin asal, dinyatakan dalam bentuk pecahan yang tidak boleh disederhanakan? (2) Jika kedai bahan binaan hanya menjual jubin keseluruhan, berapa banyak jubin penuh yang anda perlukan untuk menggantikan jubin yang patah?

Semasa pertandingan berbasikal, seorang atlet telah menempuh jarak 90 kilometer dalam 3 jam pertama dan 60 kilometer lagi dalam 2 jam berikutnya. Apakah nisbah yang mewakili kelajuan purata atlet sepanjang keseluruhan pertandingan?