Fragenbank: Kreis: Umfangsprobleme

In einem Gartenprojekt beschließt ein Student, ein kreisförmiges Beet zu gestalten, inspiriert vom Design einer Sonnenuhr. Er möchte, dass der Radius des Beetes so ist, dass zur Mittagszeit die Spitze des Schattens eines der Lichtmasten, der 5 Meter vom Beet entfernt steht und senkrecht zur Erde steht, genau einen inneren Kreis des Beetes berührt. Da der Schatten des Mastes die Projektion des Radius des Beetes vermindert, sodass die Entfernung vom Zentrum des Beetes zur Spitze des Schattens gleich dem Radius des Beetes ist, bittet der Student um Hilfe, um die exakte Länge des Seils zu bestimmen, das die Entfernung von der Basis des Schattens des Mastes bis zu dem Punkt darstellt, wo es den inneren Kreis des Beetes berührt. Basierend auf den bereitgestellten Informationen, wie lang ist das exakte Seil, das der Student angefordert hat?

In einem Vergnügungspark hat ein großes Karussell eine Struktur, die durch einen Kreis mit einem Radius von 8 Metern beschrieben wird. Eine der Attraktionen für die Besucher ist eine Bank, die sich genau 5 Meter vom Zentrum des Karussells befindet und sich mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit von 3 Radiant pro Minute bewegt. Es wird angenommen, dass die Bewegung im Moment beginnt, in dem die Position der Bank am höchsten Punkt ihrer kreisförmigen Bahn ist und die positive Drehrichtung gegen den Uhrzeigersinn ist. (1) Bestimmen Sie die maximale Höhe, die die Bank im Verhältnis zum Boden erreicht, und den Winkel, den das Segment, das das Zentrum des Karussells mit der Bank verbindet, an diesem Punkt mit dem Boden bildet. (2) Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung der Bank an diesem höchsten Punkt.

In einem Vergnügungspark schwingt ein pferdeförmiges Karussell in einer kreisförmigen Bewegung vor und zurück. Zwei Kinder, Alice und Bob, entscheiden sich, die Zeit zu messen, die das Karussell benötigt, um einen Zyklus der Pendelbewegung abzuschließen. Alice, die die Eigenschaften von Kreisen studiert hat, bemerkt, dass die Zeit der Bewegung bei kleinen Winkeln direkt proportional zur Länge des beschriebenen Bogens ist. Da die Länge des Bogens, den das Karussell bei jeder Schwingung beschreibt, 3 Meter beträgt und das Karussell immer einen Schwingungswinkel von etwa 15 Grad beibehält, und da das Karussell die Bewegung vom tiefsten Punkt einer der Schwingungen aus startet, bestimme die benötigte Zeit, damit das Karussell einen vollständigen Zyklus der Schwingung abschließt.

Während einer interdisziplinären Mathematik- und Physikstunde untersucht eine Gruppe von Schülern der 1. Klasse der Oberstufe gleichförmige Kreisbewegungen. Sie beobachten ein Riesenrad, das im Vergnügungspark in Betrieb ist, dessen Drehachse sich 8 Meter über dem Boden befindet. Ein Punkt am Rand des Riesenrads beschreibt einen Bogen, der einen Zentralwinkel von 60 Grad bildet. Angesichts der Tatsache, dass der Beobachtungspunkt sich genau auf der Höhe der Drehachse befindet, möchten die Schüler die zurückgelegte Strecke des Punktes am Rand des Riesenrads sowie die maximal erreichte Höhe dieses Punktes über dem Boden bestimmen. Wie groß ist die zurückgelegte Strecke des Punktes am Rand des Riesenrads und wie hoch ist die maximale Höhe, die dieser Punkt während der Bewegung erreicht?

In einem Park plant ein Designer die Installation eines neuen Brunnens mit einem großen Steinkreis darum herum. Der Brunnen ist rund und hat einen Durchmesser von 8 Metern. Der Designer möchte wissen, wie weit eine Person vom Rand des Brunnens entfernt sein wird, wenn sie einen Bogen von 60° darum herumgeht, um Sicherheits- und Zugänglichkeitsfragen zu bewerten. Angenommen, die Person hält einen konstanten Abstand vom Brunnen ein, während sie sich entlang des Bogens bewegt, berechnen Sie diesen Mindestabstand ungefähr, wobei π als 3,14 angenommen wird und nur 2 Dezimalstellen berücksichtigt werden. Schließen Sie in Ihre Überlegungen die Definition eines Kreisbogens ein, wenden Sie die entsprechende Formel an und geben Sie die Schritte zur Berechnung an.