Fragenbank: Polynome: Eigenschaften

Ein künstlicher Satellit in der Erdumlaufbahn überträgt Signale, die mathematisch durch Polynome modelliert werden. Die Qualität des Signals hängt entscheidend von den Eigenschaften dieses Polynoms ab. Angenommen, die charakteristische Gleichung, die mit der Signalübertragung verbunden ist, ist ein Polynom P(x) fünften Grades, gegeben durch P(x) = x^5 - ax^4 + bx^3 - cx^2 + dx - 6, wobei a, b, c und d ganze Zahlen sind. Es ist bekannt, dass P(1) = 0 und P(2) = 0, und dass P(x) einen irreduziblen quadratischen Faktor mit ganzen Koeffizienten hat. Außerdem ist die Summe der Koeffizienten des quadratischen Faktors 4 und das Produkt 6. Bestimme: (1) die Konstanten a, b, c und d des Polynoms P(x); (2) den irreduziblen quadratischen Faktor von P(x).

Ein Landwirt möchte ein rechteckiges Grundstück mit einer Länge von 240 Metern und einer Breite von 180 Metern einzäunen. Er möchte einen ungezäunten Raum in Form eines konstant breiten Rechtecks entlang einer der Kanten lassen, sodass die gesamte ungezäunte Fläche 1/4 der Fläche des Grundstücks beträgt. Dazu muss er wissen, wie die Abmessungen dieses Streifens sind. Angenommen, 'x' ist die Breite des ungezäunten Streifens. Unter der Annahme, dass es ein Polynom gibt, das die Fläche des ungezäunten Streifens als Funktion von x darstellt, und unter der Annahme, dass die Fläche eines rechteckigen Grundstücks durch seine Länge multipliziert mit seiner Breite gegeben ist, entwickle die folgenden Punkte: 1) Drücke die Fläche A(x) des ungezäunten Streifens in Abhängigkeit von x aus und bestimme das Polynom, das diese Fläche darstellt. 2) Nutze Eigenschaften von Polynomen, um die Breite des ungezäunten Streifens zu finden, wobei die gesamte ungezäunte Fläche 1/4 der Fläche des Grundstücks entsprechen muss.

Bei einem Drachenwettbewerb wurde ein Polynom P(x) erstellt, um die Leistung jedes Teilnehmers basierend auf Variablen wie Flugzeit, zurückgelegter Distanz und der Anzahl durchgeführter Manöver zu bestimmen. Bestimmen Sie den Leitkoeffizienten des Polynoms.