Fragenbank: Polynome: Rest

Auf einer Wissenschaftsmesse beschloss ein Schüler, ein Experiment vorzustellen, das die Anwendung des Resttheorems in der Mathematik demonstriert. Dazu entschloss er sich, ein Polynom P(x) 4. Grades zu verwenden, dessen Koeffizienten alle ganze Zahlen sind. Er stellte fest, dass, als er dieses Polynom durch x - 2 dividierte, der Rest 5 war, und als er durch x + 3 dividierte, der Rest 14 war. Auf der Grundlage dieser Informationen, wie lautet der Rest, wenn P(x) durch x² - 4x + 4 geteilt wird?

Ein Ingenieur entwirft ein neues Steuerungssystem für einen Satelliten und muss die Eigenschaften eines bestimmten Polynoms analysieren, um die Stabilität des Systems zu gewährleisten. Das Polynom P(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 7x + 8 muss durch das Polynom Q(x) = x^2 - 2x + 1 geteilt werden, um den Rest der Division zu bestimmen. Da der Ingenieur aufgrund der verarbeitungsbedingten Einschränkungen an Bord keinen Taschenrechner verwenden kann, beschließt er, den Restsatz zu verwenden, um den Wert des Rests der Division zu finden. Stellen Sie eine alternative Methode vor, um den Rest der Division zu berechnen, ohne die vollständige Division der Polynome durchzuführen, und demonstrieren Sie die Anwendung dieser Methode, um den Rest der Division des Polynoms P(x) durch das Polynom Q(x) zu bestimmen.

Ein Landwirt teilt ein großes Grundstück in Parzellen für den Anbau auf und möchte jede Parzelle mit Pfählen umgrenzen. Er hat insgesamt 500 Pfähle und möchte diese so verteilen, dass jede Parzelle die gleiche Anzahl an Pfählen hat. Die Anzahl der Pfähle pro Parzelle kann jedoch nicht willkürlich gewählt werden, da sie ein Teiler der Gesamtanzahl der Pfähle sein muss. Um sicherzustellen, dass alle Parzellen die gleiche Menge an Pfählen haben und keine Pfähle übrig bleiben, beschließt der Landwirt, eine mathematische Methode anzuwenden. Er beginnt damit, das Polynom P(x) = x^2 - 500x durch ein Polynom ersten Grades der Form ax - b zu teilen, wobei 'a' die Anzahl der Pfähle pro Parzelle und 'b' eine ganze Zahl ist. Der Rest der Division wird dann analysiert, um den Wert von 'a' zu finden, der die exakte Division garantiert, das heißt, dass der Rest null ist. Basierend auf dieser Methode berechnen Sie den Wert von 'a', der die Anzahl der Pfähle pro Parzelle darstellt, und den Wert von 'b', der angibt, wie viele Pfähle der Landwirt nach der vollständigen Division für jede Parzelle haben wird.

Betrachten Sie die Polynom P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 1 und D(x) = x - 1. Berechnen Sie den Rest der Division von P(x) durch D(x) unter Verwendung des Resttheorems.

Ein Landwirt möchte ein rechteckiges Grundstück einzäunen, um die Fläche in drei gleiche Piketts zu unterteilen, die jeweils die Form eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks haben, wobei die gleichen Seiten x Meter messen und die Basis 2x Meter beträgt. Um die Kosten zu minimieren, möchte er die geringstmögliche Menge an Zaun verwenden. Der Landwirt weiß, dass die Gesamtfläche des Grundstücks durch ein Polynom zweiten Grades dargestellt wird, A(x) = 6x² + 8x, und dass die Kosten des Zauns direkt proportional zum Umfang des Grundstücks sind, der wiederum durch ein Polynom ersten Grades gegeben ist, P(x) = 2x(3x + 2). Unter Berücksichtigung der Anwendung des Resttheorems, beantworte: 1) Wie viel Meter Zaun muss der Landwirt mindestens erwerben, um die drei Piketts einzuzäunen, und welches Polynom beschreibt die Fläche eines einzelnen Picketts in Abhängigkeit von x? 2) Wenn das Grundstück ein Quadrat wäre, welches neue Polynom würde die Fläche des Grundstücks darstellen und welche neue Mindestmenge an Zaun wäre notwendig, und warum passiert das?