Fragenbank: Rationalisierung von Nennern

Betrachten Sie einen umgedrehten kegelförmigen Behälter, dessen Höhe mit einer konstanten Rate von 2 cm/s abnimmt. Wenn der Radius des Behälters 10 cm beträgt, bestimmen Sie die Rate, mit der das Volumen des Wassers abnimmt, wenn die Flüssigkeitshöhe 20 cm beträgt. Denken Sie daran, dass das Volumen eines Kegels durch V = 1/3 π r^2 h gegeben ist, wobei r der Radius und h die Höhe ist.

In einem Experiment, das die Ausbreitung von Schall in verschiedenen Medien untersucht, beschließt eine Gruppe von Schülern der 1. Klasse der Oberstufe zu erforschen, wie die Schallgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Dichte des Mediums variiert. Sie verfügen über ein Gerät, das in der Lage ist, hochfrequente Wellen zu erzeugen und die Schallgeschwindigkeit in jedem Medium zu bestimmen. Während der Untersuchung stellen die Schüler fest, dass die Schallgeschwindigkeit in der Luft bei einer Temperatur von 20 °C ungefähr 343 m/s beträgt. Später möchten sie diese Geschwindigkeit mit der des Schalls im Meerwasser bei einer Temperatur von 10 °C vergleichen, das eine höhere Dichte als Luft hat. Um den Vergleich durchzuführen, müssen die Schüler das Verhältnis zwischen der Schallgeschwindigkeit im Meerwasser und der Schallgeschwindigkeit in der Luft berechnen. Angenommen, dass die Schallgeschwindigkeit (v) im Meerwasser direkt proportional zur Quadratwurzel des Drucks (P) und umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Dichte (d) ist, und dass die Beziehung zwischen Druck und Dichte des Meerwassers konstant und gleich 6 ist, müssen sie einen Faktor rationalisieren, der in der Ausdruck des Geschwindigkeitsverhältnisses erscheint. Basierend auf dieser Situation, was ist der Ausdruck, der das Verhältnis zwischen der Schallgeschwindigkeit im Meerwasser und der Schallgeschwindigkeit in der Luft darstellt, unter Berücksichtigung der Rationalisierung des genannten Faktors?

Während einer Konferenz über nachhaltige Architektur stellte ein Bauingenieur ein Projekt vor, das den Einsatz von metallischen Stäben in Form von rechteckigen Streifen zur Verstärkung einer Betonstruktur umfasst. Diese Streifen müssen auf bestimmte Längen zugeschnitten werden, damit sie effizient eingesetzt werden können. In einem der Projekte musste der Ingenieur einen Metallstreifen mit genau √10 Metern Länge schneiden und ihn in Teile aufteilen, die proportional zu den Abmessungen verschiedener Abschnitte der Struktur sind. Der Abschnitt, dessen Länge durch eine ganze Zahl multipliziert mit einer Quadratwurzel dargestellt werden kann, wurde als „rationalisierter Teil“ bezeichnet, wie zum Beispiel „3√2 Meter“. Wenn der Ingenieur den Streifen von √10 Metern in zwei Teile teilen muss, sodass das Verhältnis zwischen der Länge eines rationalisierten Teils und der der anderen Teil 2 zu 3 beträgt, wie viele Meter wird der kleinere rationalisierte Teil haben, den der Ingenieur schneiden muss? Beachten Sie, dass der Metallstreifen nicht in Bruchteile geschnitten werden kann und alle Maße in Metern angegeben sind.

In einem Projekt zum Bau eines neuen Platzes möchte ein Architekt einen Raum in rechteckiger Form schaffen, der eine Gesamtfläche von 200 Quadratmetern hat. Darüber hinaus beabsichtigt er, ein Beleuchtungssystem zu installieren, das genau dem Umriss des Parks folgt und einen Umfang bildet, der eine gleichmäßige Beleuchtung ermöglicht. Um die Harmonie des Projekts zu gewährleisten, wurden die Abmessungen des Rechtecks so gewählt, dass das Verhältnis zwischen Länge und Breite durch den Bruch (2 + √2)/√2 dargestellt wird. Basierend auf dem Konzept der Rationalisierung von Nennern, wie lang muss die Länge in Metern des vom Architekten entworfenen Rechtecks sein?

Betrachten Sie die folgende hypothetische Situation: In einem Ingenieurprojekt muss ein Architekt die Diagonale eines Quadrats berechnen, dessen Seite 4 Meter misst, um die Länge eines diagonalen Supports zu bestimmen. Dazu wendet er den Satz des Pythagoras an, der besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist. Der Architekt erkennt schnell, dass er beim Anwenden der Formel einen Ausdruck mit einer Quadratwurzel im Nenner finden wird. Er weiß, dass die Rationalisierung des Nenners ein gängiges Verfahren ist, um Berechnungen zu erleichtern, und beschließt, dies zu tun. (1) Rationalisieren Sie den Ausdruck, den der Architekt nach Anwendung des Satzes des Pythagoras auf das Quadrat erhalten würde. (2) Erklären Sie, wie das Rationalisierungsverfahren dem Architekten hilft, die exakte Länge des diagonalen Supports effizienter zu bestimmen.