Fragenbank: Übersetzungen von ebenen Figuren

Ein Architekt entwirft ein neues Muster von Fliesen für einen großen öffentlichen Raum. Das Muster besteht aus einem blauen gleichseitigen Dreieck, gefolgt von einem roten gleichseitigen Dreieck, und so weiter, insgesamt 10 Dreiecken. Das erste Dreieck ist so ausgerichtet, dass einer seiner Punkte direkt über dem Mittelpunkt des dritten Dreiecks der vorherigen Reihe liegt. Jedes Dreieck hat eine Seitenlänge von 3 Metern. Der Architekt möchte wissen, wie groß die Gesamtdistanz ist, die vom südlichsten Punkt des letzten Dreiecks bis zum nördlichsten Punkt des ersten Dreiecks zurückgelegt wird, wobei berücksichtigt wird, dass sich das Muster unendlich wiederholt, um ein großes Fliesenpanel zu bilden. Erkläre, wie du die Idee der Translation nutzen würdest, um die angeforderte Distanz zu finden und berechne diese Distanz.

Johann liebt es, Symmetrien in seinen Kunstwerken zu erkunden. In einer seiner Kreationen zeichnet er ein Quadrat, dessen Ecken an den Punkten (0,0), (0,2), (2,2) und (2,0) im kartesischen Koordinatensystem liegen. Er beschließt dann, das Quadrat um 3 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach oben zu verschieben. Was sind die Ecken des neuen Quadrats nach der Verschiebung?

Ein Architekt entwirft ein großes Mosaik, das aus einer Sequenz von gleichseitigen Dreiecken mit einer Seitenlänge von 10 cm bestehen wird. Er möchte ein symmetrisches Muster erstellen, indem er eines der Dreiecke nach oben und zur Seite verschiebt, sodass jeder Scheitelpunkt des ursprünglichen Dreiecks mit einem Scheitelpunkt eines benachbarten Dreiecks übereinstimmt. Nach mehreren Iterationen dieses Prozesses fragt sich der Architekt, wie viele verschiedene Translationen erforderlich sind, um eine quadratische Fläche von 1 m² mit dem resultierenden Muster zu füllen. Da es keine Überlappungen von Dreiecken gibt und das Muster aus einem einzelnen Dreieck heraus aufgebaut wird, bestimmen Sie, wie viele Translationen erforderlich sind, um das Mosaik im Quadrat von 1 m² zu vervollständigen. Außerdem erklären Sie, warum das entstandene Muster tatsächlich ein Mosaik ist und keine leeren Räume in der gefüllten Fläche hinterlässt.

Ein Architekt entwirft ein Mosaik zur Dekoration des Bodens in einer großen Halle. Er hat beschlossen, dass das Muster des Mosaiks aus einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlängen von 10 Metern bestehen wird. Um einen Symmetrieeffekt zu erzielen, möchte er, dass das Muster nach oben und nach rechts verschoben wird, wodurch ein neues Muster entsteht, das perfekt mit dem Originalmuster übereinstimmt. Angenommen, der Architekt hat das erste Muster bereits gezeichnet und es mit der unteren linken Ecke einer rechteckigen Fläche von 30 Metern Breite und 50 Metern Länge in Einklang gebracht, berechnen Sie: 1) Die Koordinaten der Ecken des ersten Dreiecks im kartesischen Koordinatensystem, wobei die untere linke Ecke die Koordinaten (0,0) hat. 2) Die Koordinaten der Ecken des zweiten Dreiecks, das aus der Verschiebung des ersten Dreiecks nach oben und nach rechts resultiert, unter Berücksichtigung der Dimensionen der Halle. Erklären Sie den Prozess Schritt für Schritt, einschließlich der Anwendung der Verschiebungsformel (x', y') = (x + a, y + b), wobei (x, y) die ursprünglichen Koordinaten, (x', y') die Koordinaten nach der Verschiebung und (a, b) die Verschiebungswerte nach oben und nach rechts sind.

Während eines interdisziplinären Projekts in Mathematik und Kunst entschieden die Schüler der 7. Klasse, eine Installation im Schulhof zu schaffen, die Konzepte der Translation in der kartesischen Ebene erkunden sollte, wobei geometrische Figuren auf Acrylplatten gedruckt wurden. Der ursprüngliche Vorschlag bestand darin, eine Zeichnung mit gleichseitigen Dreiecken zu erstellen, die, wenn sie in eine bestimmte Richtung transliert werden, interessante symmetrische Muster bilden. Die Gruppe hatte bereits die erste Phase der Installation entworfen, die aus einer Basis von sieben dieser zusammengefügten Dreiecke bestand und ein regelmäßiges Sechseck bildete, wie in Abbildung 1 gezeigt. Jetzt müssen die Schüler die Koordinaten der Ecken eines zweiten Sechsecks bestimmen, das aus dem ersten durch eine Translation erhalten wird, die jede Ecke um 4 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben verschiebt. Da das ursprüngliche Sechseck im Ursprung der kartesischen Ebene zentriert ist und die Ecken im Uhrzeigersinn ab dem Punkt (0, 3√3) angeordnet sind, der die obere rechte Ecke des ursprünglichen Sechsecks ist, was wird die neue Position der Ecke sein, die ursprünglich bei (-3, 3√3) war?