Plan de Cours | Méthodologie Traditionnelle | Déterminants : Propriétés

Objectifs

Durée: (10 - 15 minutes)

L'objectif de cette étape est de préparer les élèves à comprendre et à appliquer les propriétés des déterminants de manière efficace. En comprenant ces propriétés, les élèves seront capables de résoudre des problèmes de manière plus efficace et avec plus de précision, établissant une base solide pour des sujets mathématiques plus avancés.

Objectifs Principaux

1. Enseigner aux élèves à identifier les propriétés fondamentales des déterminants qui simplifient leur calcul.

2. Démontrer comment utiliser des propriétés spécifiques, comme la présence d'une ligne ou d'une colonne de zéros, pour déterminer rapidement qu'un déterminant est égal à zéro.

Introduction

Durée: (10 - 15 minutes)

 Finalité : L'objectif de cette étape est de préparer les élèves à comprendre et à appliquer les propriétés des déterminants de manière efficace. En comprenant ces propriétés, les élèves seront capables de résoudre des problèmes de manière plus efficace et avec plus de précision, établissant une base solide pour des sujets mathématiques plus avancés.

Contexte

 Contexte : Pour commencer le cours sur les déterminants, il est essentiel que les élèves comprennent l'importance de ce concept dans l'étude de l'algèbre linéaire et ses applications dans divers domaines des mathématiques et des sciences exactes. Les déterminants sont utilisés pour résoudre des systèmes linéaires, trouver des inverses de matrices et calculer des volumes en géométrie analytique. Par conséquent, comprendre leurs propriétés peut simplifier de nombreux calculs complexes.

Curiosités

 Curiosité : Saviez-vous que les déterminants sont utilisés dans la cryptographie ? Certaines techniques de cryptographie, comme le chiffre de Hill, utilisent des matrices et des déterminants pour coder et décoder des messages. De plus, dans le génie civil, les déterminants sont utilisés pour analyser des structures et résoudre des problèmes de stabilité.

Développement

Durée: (60 - 70 minutes)

 Finalité : L'objectif de cette étape est de permettre aux élèves d'appliquer les propriétés des déterminants dans le calcul des déterminants de matrices de manière efficace. En résolvant des problèmes pratiques en classe, les élèves renforceront leur compréhension théorique et développeront des compétences en résolution de problèmes mathématiques.

Sujets Couverts

1. Définition du déterminant : Expliquez le concept de déterminant d'une matrice carrée, en soulignant son importance et ses applications pratiques. 2. Propriété de linéarité : Détaillez comment l'addition de multiples d'une ligne ou d'une colonne à une autre ligne ou colonne n'altère pas le déterminant d'une matrice. 3. Propriété d'échange de lignes ou colonnes : Expliquez que l'échange de deux lignes ou colonnes d'une matrice inverse le signe du déterminant. 4. Propriété d'une ligne ou colonne de zéros : Montrez que si une matrice a une ligne ou une colonne de zéros, alors son déterminant est zéro. 5. Multiplication d'une ligne ou colonne par un scalaire : Montrez que multiplier une ligne ou une colonne d'une matrice par un scalaire multiplie le déterminant par ce scalaire. 6. Déterminant d'une matrice triangulaire : Expliquez que le déterminant d'une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est le produit des éléments de la diagonale principale. 7. Calcul des déterminants par cofacteurs : Enseignez la méthode d'expansion par cofacteurs pour calculer le déterminant de matrices 3x3 et supérieures.

Questions en Classe

1. Calculez le déterminant de la matrice 3x3 ci-dessous en utilisant l'expansion par cofacteurs : [ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 4 \ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix} ] 2. Déterminez le déterminant de la matrice 4x4 où la troisième ligne est composée uniquement de zéros. Expliquez votre réponse en utilisant les propriétés discutées. 3. Étant donné la matrice A = [ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \ -1 & 3 & 2 \ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} ], multipliez la deuxième ligne par 3 et recalculez le déterminant. Comparez avec le déterminant original et vérifiez la propriété de multiplication par un scalaire.

Discussion des Questions

Durée: (15 - 20 minutes)

 Finalité : L'objectif de cette étape est de consolider l'apprentissage des élèves, en révisant et en discutant des solutions des questions présentées. En engageant les élèves dans une discussion active, l'enseignant peut clarifier les doutes, renforcer les concepts et s'assurer que tous les élèves comprennent les propriétés des déterminants et comment les appliquer dans différentes situations.

Discussion

• Question 1 : Pour calculer le déterminant de la matrice 3x3 en utilisant l'expansion par cofacteurs, choisissez une ligne ou colonne à développer. Choisissons la première ligne : [ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 4 \ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix} ] Le déterminant sera donné par : [ 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \ 6 & 0 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \ 5 & 0 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \ 5 & 6 \end{vmatrix} ] Calculons chaque déterminant mineur : [ 1 \cdot (1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 2 \cdot (0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) + 3 \cdot (0 \cdot 6 - 1 \cdot 5) ] [ 1 \cdot (-24) - 2 \cdot (-20) + 3 \cdot (-5) = -24 + 40 - 15 = 1 ] Donc, le déterminant est 1.

• Question 2 : Pour déterminer le déterminant d'une matrice 4x4 où la troisième ligne est composée uniquement de zéros, utilisez la propriété qui dit qu'une matrice avec une ligne ou colonne de zéros a un déterminant égal à zéro. Donc, le déterminant est 0.

• Question 3 : Étant donné la matrice A = [ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \ -1 & 3 & 2 \ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} ], multipliez la deuxième ligne par 3, ce qui donne la matrice [ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \ -3 & 9 & 6 \ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} ]. Le déterminant original de A se calcule en utilisant l'expansion par cofacteurs sur la première ligne : [ 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \ 0 & 1 \end{vmatrix} - 0 + 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \ 4 & 0 \end{vmatrix} ] [ 2 \cdot (3 \cdot 1 - 2 \cdot 0) + 1 \cdot (-1 \cdot 0 - 3 \cdot 4) = 2 \cdot 3 + (-12) = 6 - 12 = -6 ] En multipliant la deuxième ligne par 3, le déterminant de la nouvelle matrice sera -6 \cdot 3 = -18.

Engagement des Élèves

1. Question : Quelle ligne ou colonne a été choisie pour l'expansion par cofacteurs dans la première question ? Pourrions-nous avoir choisi une autre ? Le résultat serait-il différent ? 2. Réflexion : Comment les propriétés des déterminants aident-elles à simplifier les calculs ? Donnez des exemples de propriétés que vous avez trouvées les plus utiles. 3. Discussion : Comment la multiplication d'une ligne par un scalaire affecte-t-elle le déterminant ? Expliquez en vous basant sur la troisième question. 4. Exercice : Proposez que les élèves calculent le déterminant d'une nouvelle matrice en appliquant les propriétés discutées. Par exemple, une matrice 3x3 où une colonne est un multiple de l'autre.

Conclusion

Durée: (5 - 10 minutes)

L'objectif de cette étape est de revoir et de consolider l'apprentissage, en veillant à ce que les élèves aient une compréhension solide des concepts et des propriétés des déterminants. En résumant les points principaux et en discutant de leurs applications pratiques, les élèves pourront voir l'importance du contenu étudié et seront mieux préparés à l'utiliser dans des situations futures.

Résumé

• Définition du déterminant et son importance en algèbre linéaire.
• Propriété de linéarité : l'addition de multiples d'une ligne ou colonne à une autre n'altère pas le déterminant.
• Propriété d'échange de lignes ou colonnes : l'échange de deux lignes ou colonnes inverse le signe du déterminant.
• Propriété d'une ligne ou colonne de zéros : une ligne ou colonne de zéros rend le déterminant égal à zéro.
• Multiplication d'une ligne ou colonne par un scalaire : multiplie le déterminant par le scalaire.
• Déterminant d'une matrice triangulaire : produit des éléments de la diagonale principale.
• Calcul des déterminants par cofacteurs : méthode d'expansion pour les matrices 3x3 et supérieures.

Le cours a connecté la théorie des déterminants avec la pratique en fournissant des exemples détaillés sur la façon d'appliquer les propriétés des déterminants dans des calculs réels. Les élèves ont pu voir comment ces propriétés simplifient le processus de calcul et sont applicables dans divers contextes mathématiques et scientifiques.

L'étude des déterminants est cruciale non seulement pour les mathématiques pures, mais aussi pour diverses applications pratiques, comme dans la cryptographie et le génie civil. Comprendre ces propriétés permet aux élèves de résoudre des problèmes complexes de manière plus efficace et avec plus de précision, soulignant la pertinence pratique du sujet au quotidien.