Étant donné les nombres réels a, b, c différents de zéro et a + b + c ≠ 0, pour que l'égalité 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) soit toujours vérifiée, nous devons avoir, nécessairement

Mathématiques

Pour résoudre cette question, nous devons manipuler l'égalité donnée et tenter d'arriver à la réponse "a = -b ou b = -c ou a = -c". Voici les étapes :

1. Étant donné l'égalité : 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a + b + c)

2. Trouvez le minimum commun multiple (mcm) des dénominateurs a, b, c et (a + b + c). Dans ce cas, le mcm est abc(a + b + c).

3. Maintenant, écrivez chaque fraction avec ce mcm comme dénominateur :

   (abc(a + b + c))/a + (abc(a + b + c))/b + (abc(a + b + c))/c = (abc(a + b + c))/(a + b + c)

4. Simplifiez les termes de chaque fraction :

   (bc(a + b + c)) + (ac(a + b + c)) + (ab(a + b + c)) = abc

5. Développez les termes dans le numérateur :

   abc + ab² + ab² + ac² + acb + ²bc² + abc = abc

6. Regroupez les termes semblables :

   3abc + ac² + ab² + ²bc² = abc

7. Soustrayez abc des deux côtés :

   2abc + ac² + ab² + ²bc² = 0

8. Remarquez que nous pouvons factoriser l'expression à gauche :

   a(2bc + c² + b² + ²b²) = 0

9. Pour que cette égalité soit satisfaite, nous avons besoin d'avoir a = 0, 2bc + c² + b² + ²b² = 0 ou les deux. Mais la question indique que a, b et c sont différents de zéro et que a + b + c ≠ 0, donc a = 0 n'est pas une option.

10. Analysons la condition 2bc + c² + b² + ²b² = 0 :

   - Si a = -b, alors nous avons 0 + c² + 0 + ²b² = 0 et la condition est satisfaite.
   - Si b = -c, alors nous avons 2a² + 0 + 0 + a² = 0, et la condition est satisfaite.
   - Si a = -c, alors nous avons 2b² + 0 + a² + 0 = 0, et la condition est satisfaite.

Par conséquent, la réponse correcte est "a = -b ou b = -c ou a = -c".

Question sur Produits Notables

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(CMRJ 2023) - Question Moyen sur Mathématiques